propriété d archimède exercices

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C'est quoi la propriété d'Archimède ?
D'après la propriété d'Archimède, il existe un entier N ∈ N tel que N > x. – Si x ≥ 0, alors l'ensemble des entiers naturels p ∈ N tels que p ≤ x est non vide (il contient 0) et majoré par N, il admet donc un plus grand élément n ∈ N.
Plus généralement si (G,+,≤) est un groupe totalement ordonné, on dit que G est archimédien lorsque pour tous éléments a et b de G vérifiant a>0 et b>0 il existe un entier naturel n tel que na>b n a > b .
Tout sous-groupe de R est archimédien.
Réciproquement, tout groupe archimédien est isomorphe à un sous-groupe de R.

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Comment montrer que Q est dense dans R ?

Comme R \\ Q est dense dans R, il existe z un nombre irrationnel tel que, 1 <z< 1 + ?.
. Le nombre 1 + ? n'est donc pas un minorant de l'ensemble.
. Comme c'est vrai pour tout ? > 0, cela montre que la borne inférieure de l'ensemble est inférieure ou égale à 1, d'où inf{x ? R / x ? 1,x /? Q} = 1.

Comment trouver la borne supérieure d'une fonction ?

Si l'ensemble des majorants d'une partie A de R admet un plus petit élément M on dit que M est la borne supérieure de A et on note M = sup(A).
. Cette borne est alors unique.
. Si l'ensemble des minorants d'une partie A de R admet un plus grand élément m, on dit que m est la borne inférieure de A et on note m = inf(A).

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