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Matrices Pascal Lainé 1 Matrices Exercice 1 Pour une matrice à une ligne et une colonne de ℳ1(ℝ) on posera ( ) = Soit = ( 1 2 3 ) ∈ ℳ31 

  • Quelle est la base canonique de R4 ?

    1.
    La base canonique de R4[X] est (1, X, X2,X3,X4), et dimR4[X] = 5.

  • Comment montrer qu'un ensemble de matrice est un sous-espace vectoriel ?

    Pour démontrer que F est un sous-espace vectoriel de E , on applique la caractérisation des sous-espaces vectoriels, c'est-à-dire qu'on vérifie que 0E∈F 0 E ∈ F et que, pour tout couple (x,y)∈F2 ( x , y ) ∈ F 2 et tout scalaire λ∈K λ ∈ K , on a {x+y∈Fλx∈F. { x + y ∈ F λ x ∈ F .

  • Comment déterminer une matrice dans une base canonique ?

    Trouver la matrice de f dans la base canonique pour l'espace de départ et la base b pour l'espace de arrivée.
    Solution : V(x, y, z) ∈ R3, (x, y, z) = c1(1,2,0) + c2(0,1,-1) + c3(0,1,1) ⇒ c1 = x, c2 = y - 2x - z 2 ,c3 = y - 2x + z 2 .

  • Formulaire : Si X est le vecteur colonne représentant x∈E x ∈ E dans la base B , si Y est le vecteur colonne représentant u(x) dans la base B′ , et si A est la matrice de u dans les bases B et B′ , alors Y=AX.
  • Comment résoudre une application linéaire ?

    Pour montrer que f est une application linéaire, il suffit de vérifier que f(u + ?v) = f(u) + ?f(v) pour tous u, v ? E,? ? K. Propriétés. Si f:E ? F est une application linéaire alors • f(0) = 0, • f(?1u1 + ··· + ?nun) = ?1f(u1) + ··· + ?nf(un).
  • Comment déterminer la matrice d'un endomorphisme ?

    On note D l'endomorphisme de E défini par D(f)=f? pour tout f?E. Donner la matrice de D dans la base ?=(c0,c1,s0,s1).

    1Vérifier que ? définit un endomorphisme de ?n[X].2Former la matrice de ? dans la base 1 3L'endomorphisme ? est-il bijectif?
  • Quelle est la base canonique de R4 ?

    La base canonique de R4[X] est (1, X, X2,X3,X4), et dimR4[X] = 5. Soit P ? R4[X], alors P(X) = a0 + a1X + a2X2 + a3X3 + a4X4, o`u ai ? R,?i.
  • Définition Si f : E ? F est une application linéaire, son noyau, noté Kerf est l'ensemble des vecteurs de E que f annule : Kerf := {v ? Ef (v)=0}. Le noyau de la projection p := (x,y,z) ?? (x,y,0) de R3 sur son plan horizontal est l'axe vertical défini par x = y = 0.
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Comment déterminer la matrice d'un endomorphisme ?

base pour R3. v1 + 5v2,f(v3) = (3,0,4) = 14v1 + 11v2 - 7v3 et donc MB(f) = ? ? 12 1 14 4 5 11 -7 0 -7 ? ?.

Quelle est la base canonique de R3 ?

Pour démontrer que Imf et kerf sont des sous-espaces supplémentaires, il suffit de montrer que leur intersection est réduite au vecteur nul.










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