exercices corrigés sur topologie pdf


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PDF TD de topologie et calcul différentiel– Corrigé de la Feuille 3

Exercice 8 Soit E un ensemble possédant aux moins deux éléments distincts Vérifier que l'application d : E ×E → [0 +∞[ qui au couple (x y) associe 1 

  • Comment montrer qu'un ensemble est une topologie ?

    La topologie discrète sur un ensemble X est celle pour laquelle T = P(X), l'ensemble des parties de X.
    Autrement dit : toutes les parties sont ouvertes, ou encore : tous les points sont isolés.
    C'est la topologie la plus fine sur X.

  • Comment montrer qu'une topologie est discrète ?

    Un sous-ensemble L d'un espace topologique E est dit discret si tout élément x de L est isolé, c'est-à-dire s'il existe un voisinage V de x dans E tel que V∩L={x}.
    V ∩ L = { x } .
    Si E est un espace vectoriel normé ou un espace métrique, cela revient à dire qu'il existe r>0 tel que B(x,r)∩L={x}.

  • Comment montrer que c'est une topologie ?

    Les éléments de O sont appelés ouverts de X (pour la topologie O ).
    La notion d'espace topologique généralise donc celle d'espace métrique ou d'espace vectoriel normé.
    En effet, on prouve que la famille des ouverts d'un espace vectoriel normé (resp. d'un espace métrique) est une topologie.

  • Exemples : Sur R , l'application qui à deux nombres x et y associe la valeur absolue de leur différence x−y est une distance.

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