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Soit (E,d) un espace métrique.
Si x est un point de E , et A est une partie de E , alors la distance de x à A est la borne inférieure des distances de x à y lorsque y appartient à A : d(x,A)=inf{d(x,y); y∈A}.

Comment montrer qu'un ensemble est fermé ou ouvert ?

— Un ensemble O est ouvert de (X, d) si et seulement si pour toute suite (xn)n≥1 ⊂ X telle que xn −→ x ∈ O, il existe n0 tel que xn ∈ O pour tout n ≥ n0. — Un ensemble F est fermé de (X, d) si et seulement si pour toute suite conver- gente (xn)n≥1 ⊂ F on a limn→∞ xn ∈ F.

Pourquoi R est ouvert et fermé ?

Plus terre à terre : R est ouvert dans R parce que pour tout élément x de R, il existe un intervalle ouvert qui contient x et qui est contenu dans R – par exemple ]x−1,x+1[ ; R est fermé dans R parce que toute suite qui converge dans R converge dans R (eh ), ou bien parce qu'il est impossible d'exhiber un point dans l

Quels sont tous les types d'intervalles fermes de r ?

Une partie F ⊂ R est dite fermée si son complémentaire U = R \\ F est ouvert.
Exemple 2 Un intervalle ouvert, comme ]a, b[, ]a, +∞[, ] − ∞,b[, ] − ∞, +∞[, est ouvert.
Un intervalle fermé, comme {a}, [a, b], [a, +∞[, ] − ∞,b], ] − ∞, +∞[, est fermé._{16 mai 2005}

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