Endomorphismes des espaces euclidiens

PDF	CHAPITRE 4 ENDOMORPHISMES D’UN ESPACE EUCLIDIEN 4 LICENCE DE MATHÉMATIQUES S4 Démonstration —On peut d’abord remarquer que si pest un projec-teurc-à-d p2 = palorsp l’estaussi (a) )(b) : puisque pest orthogonal on a Kerp= (Imp)? donc

PDF	Endomorphismesd’unespaceeuclidien Endomorphismes d’un espace euclidien Dans tout ce chapitre E désigne un espace euclidien On notera ⋅ ⋅ le produit scalaire dont il est muni et ‖ ⋅ ‖ la norme euclidien associée à ce produit scalaire

PDF	CHAPITRE 3 :ESPACES EUCLIDIENS Un espace euclidien est un espace vectoriel réel de dimension finie muni d’une forme bilinéaire symétrique définie positive On la note ( ) ( ) 〈〉 et on l’appelle produit scalaire

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Play:block;margin-top:24px;margin-bottom:2px;\ class=\tit wwwdblottiereorgENDOMORPHISMES DES ESPACES EUCLIDIENS CHAPITRE

§ 5 ORIENTATION D’UN ESPACE VECTORIEL RÉEL DE DIMENSION FINIE NOTATION — Dans cette partie E désigne un R-espace vectoriel de dimension finien ⩾1 LEMME 24 (RELATION D’ÉQUIVALENCE SUR LES BASES DE E) — On définit la relation∼ sur l’ensemble des bases de E en posant pour toutes bases B1 et B2 de E : B1 ∼B2:⇐⇒ detB1

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Chapitre 14 Endomorphismes dun espace euclidien

L'ensemble des endomorphismes symétriques est noté S(E) Exercice 1 Montrerqueleshomothétieslesprojectionsorthogonalesetlessymétriesorthogonales sont des endomorphismes orthogonaux Théorème 1 (Structure) S(E) est un sous-espace vectoriel de L(E) Propriété 1 (Caractérisation matricielle)

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Endomorphismes des espaces euclidiens

Endomorphismes des espaces euclidiens Dans toute la suite Edésignera un espace vectoriel euclidien de dimension n 11 1 Isométries vectorielles 11 1 1 Groupe orthogonal Dé nition 11 1 1 Soit u2L(E) On dira que uest un automorphisme orthogonal (on dit aussi isométrie vectorielle) de Esi et seulement si uonservec la norme i e 8x2E; ku(x)k

Comment calculer l’endomorphisme ?
— On considère E = Mn(R) muni de son produit scalaire usuel hAjBi = tr(AT B) et on considère l’endomorphisme uA défini pour tout A 2 E par uA(M) = MA: On a pour tout M; N 2 E, Proposition 1.3. — (a) Soient B une b.o.n. de E, u 2 L(E) et A = MatB(u), alors MatB(u ) = AT . = IdE.
Qu'est-ce que l'espace euclidien ?
I. Définitions. Un espace euclidien est un espace vectoriel réel de dimension finie muni d’une forme bilinéaire symétrique définie positive. On la note ( ) ( | ) 〈〉 et on l’appelle produit scalaire. On a égalité ssi x et y colinéaires. (espace euclidien), ‖ ‖ √ ( ) on l’appelle la norme de x.
Quel est l'endomorphisme d'un espace euclidien ?
CHAPITRE 4 ENDOMORPHISMES D’UN ESPACE EUCLIDIEN Dans tout ce chapitre E est un espace euclidien de dimension n et de produit scalaire h j i. Théorème 1.1. — Soit u 2 L(E). Il existe un unique endomorphisme de E noté u tel que 8x; y 2 E; hu(x)jyi = hxju (y)i: est appelé l’endomorphisme adjoint de u. Démonstration.
Quels sont les endomorphismes normaux ?
Les endomorphismes symétriques ou antisymétriques sont normaux. Soit ( ) symétrique. Soit ( ) symétrique, représentée par une matrice A dans une base orthonormale. Alors A est définie positive (resp positive, déf négative, négative) ssi u est définie positive (resp positive, déf négative, négative) ( ) ( | ) ( ( )| ( ))

DEFINITION 32 : ESPACE EUCLIDIEN

Un espace euclidien est un espace vectoriel réel de dimension finie muni d’une forme bilinéaire symétrique définie positive. On la note ( ) ( ) 〈〉 et on l’appelle produit scalaire. licence-math.univ-lyon1.fr

PROPOSITION 32 : INEGALITE DE CAUCHY-SCHARWZ

Soit ( ) un espace euclidien , ( ) ( ) ( ) On a égalité ssi x et y colinéaires. Exemple : avec ( ) Sur ( ) ( ) ( ) où ( ) ( ) On note (espace euclidien), ‖ ‖ √ ( ) on l’appelle la norme de x. Rmq : i) est vraie si ( ) esp.quadra. réel positif. licence-math.univ-lyon1.fr

PREUVE:

i. ( ) ( ) ( ) ( ) comme donc ( ) (( ) , ( ) c’est-à-dire ( ) ( ) ( ) ( ) ( )) donc ( ) ( ) ( ) si ( ) ( ) ( ) implique ( ) constante et donc( ) et l’inégalité voulue est évidente. ii. Réciproquement, si ( )  Si ( ) ( ) ( ) x et y  Si ( ) ( ) ( ) donc ; ( ) licence-math.univ-lyon1.fr

PROPOSITION 33 : INEGALITE MINKWOSKI

Soit ( ) un espace euclidien alors ‖ ‖ ‖ ‖ ‖ ‖ licence-math.univ-lyon1.fr

PREUVE:

On sait déjà que ( ) ( ). Prenons ( ) alors ( ) On utilise l’inégalité de Cauchy-Schwarz ( ) ( ) ( ) ici donc ( ) donc ( ) II. Orthogonalité, bases orthonormales. E espace euclidien ( ) est non dégénérée. licence-math.univ-lyon1.fr

DEFINITION 33 : BASE ORTHONORMALE

On appelle une base ( ) de E orthonormale si elle est orthogonale et ( ) licence-math.univ-lyon1.fr

DEFINITION 34 : LA PROJECTION ORTHOGONALE

F ss-ev de E. La projection orthogonale par rapport à F, c’est la projection sur F parallèlement à . . ⏟ ( ) ⏟ ( ) ( ) ( ) c’est-à-dire l’application : licence-math.univ-lyon1.fr

3) Matrices orthogonales

E espace euclidien ( ) base orthogonale ( ) une autre base orthonormale ( ) Soit O la matrice de passage de ( ) à ( ) . ( ) ( ) Alors . licence-math.univ-lyon1.fr

PROPOSITION 38 :

On a équivalence pour ( ) . est la matrice de passage d’une base orthonormale dans une autre. licence-math.univ-lyon1.fr

PROPOSITION 40 : FACTORISATION

Soit ( ) Il existe une matrice triangulaire supérieure R et une matrice orthogonale Q telles que licence-math.univ-lyon1.fr

PREUVE:

On introduit un espace euclidien de dimension n et une base orthogonale pour le produit scalaire de E. Soit une base de E telle que A est la matrice de passage de à . On applique Gramm-Schmidt à la base on obtient une base orthonormale . Soit T la matrice de passage de à , elle est triangulaire supérieure ( ) )} ( ) ( ) ( )

PROPOSITION 41 :

( ) ( ) L’application ( ) ( ) ( ( )) est un isomorphisme. licence-math.univ-lyon1.fr

PREUVE:

B base de E. la matrice du produit scalaire de E dans cette base. Soit et leurs coordonnées dans B et M la matrice de u dans B. Alors ( ) ( ( )) s’écrit ( ) ( ) L’application φ s’écrit matriciellement ( ) ( ) est inversible donc est un isomorphisme. Rmq :  Si B est orthonormale, . Les matrices de u et de ( ) ( ( )) sont les mêmes. licence-math.univ-lyon1.fr

 Si ( )

on dira que u est l’endomorphisme associée à b, i.e. ( ) ( ( )) licence-math.univ-lyon1.fr

DEFINITION 38 : ADJOINT

Soit ( ) L’endomorphisme associé à ( ) ( ( )) est noté est appelé adjoint de u. ( ( ) ) ( ( )) Rmq : ( ) ( ( )) est symétrique ssi ( ) ( ( )) est antisymétrique ssi licence-math.univ-lyon1.fr

DEFINITION 39 : YM TRI ,ANTI YM TRI , NORMALIT D L’ADJOINT

Soit ( ) On dit que u est symétrique si On dit que u est antisymétrique si On dit que u est normal si On dit que u est orthogonal si licence-math.univ-lyon1.fr

PREUVE:

Si , ( ( )) ( ( ) ) ( ( ) ) ( ) ( ( ) ) ( ( )) ( ( ) ( )) donc ( ) Rmq : Les endomorphismes symétriques ou antisymétriques sont normaux. ( ) tel que , ( ( )) ( ( ) ) , ( ( ) ( )) ( ) licence-math.univ-lyon1.fr

DEFINITION 40 : ADJOINT POSITIF, NEGATIF, DEFINIT POSITIF, DEFINIT NEGATIF

Soit ( ) symétrique. On dit que u est défini positif (resp positif, déf négatif, négatif) si ( ) ( ( )) est défini positive (resp positive, déf négative, négative) licence-math.univ-lyon1.fr

PROPOSITION 42 :

Soit ( ) symétrique, représentée par une matrice A dans une base orthonormale. Alors A est définie positive (resp positive, déf négative, négative) ssi u est définie positive (resp positive, déf négative, négative) licence-math.univ-lyon1.fr

PREUVE:

( ) ( ( )) ( ) ( ( ) ) ( ) ( ) ( ) Soit M matrice de u A matrice de ( ) ( ( )) ( ( ) ) ( ) ( ( ) ) ( ) ( ) ( ) licence-math.univ-lyon1.fr

CORROLAIRE:

Les endomorphismes symétriques de E sont ceux dont la matrice dans une base orthonormée est symétrique. licence-math.univ-lyon1.fr

PROPRIETES 45:

L’adjonction est une anti-involution c’est-à-dire elle satisfait : ( ) est une application linéaire de ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) licence-math.univ-lyon1.fr

PREUVE:

( ) , ( ( ) ) , ( ( )) ( ) ( ) non dégénérée (( ) ) ( ) ( ) ( ) licence-math.univ-lyon1.fr

ADJOINT ET STABILISATION:

( ) un s.e.v. stable par u ( ( ) ) Alors stable par . licence-math.univ-lyon1.fr

PREUVE:

Soit On calcule ( ( ) ) pour ( ( ) ) ( ( )) ( ) car F stable par u. donc ( ) . licence-math.univ-lyon1.fr

CORROLAIRE:

Soit F ss-ev stable par u. Si u est{ } stable par u licence-math.univ-lyon1.fr

PROPOSITION 49:

Toute rotation conserve les angles Toute réflexion renverse les angles. licence-math.univ-lyon1.fr Toute rotation conserve les angles Toute réflexion renverse les angles. licence-math.univ-lyon1.fr Toute rotation conserve les angles Toute réflexion renverse les angles. licence-math.univ-lyon1.fr Toute rotation conserve les angles Toute réflexion renverse les angles. licence-math.univ-lyon1.fr Toute rotation conserve les angles Toute réflexion renverse les angles. licence-math.univ-lyon1.fr Toute rotation conserve les angles Toute réflexion renverse les angles. licence-math.univ-lyon1.fr Toute rotation conserve les angles Toute réflexion renverse les angles. licence-math.univ-lyon1.fr Toute rotation conserve les angles Toute réflexion renverse les angles. licence-math.univ-lyon1.fr Toute rotation conserve les angles Toute réflexion renverse les angles. licence-math.univ-lyon1.fr Toute rotation conserve les angles Toute réflexion renverse les angles. licence-math.univ-lyon1.fr Toute rotation conserve les angles Toute réflexion renverse les angles. licence-math.univ-lyon1.fr Toute rotation conserve les angles Toute réflexion renverse les angles. licence-math.univ-lyon1.fr Toute rotation conserve les angles Toute réflexion renverse les angles. licence-math.univ-lyon1.fr Toute rotation conserve les angles Toute réflexion renverse les angles. licence-math.univ-lyon1.fr Toute rotation conserve les angles Toute réflexion renverse les angles. licence-math.univ-lyon1.fr Toute rotation conserve les angles Toute réflexion renverse les angles. licence-math.univ-lyon1.fr Toute rotation conserve les angles Toute réflexion renverse les angles. licence-math.univ-lyon1.fr Toute rotation conserve les angles Toute réflexion renverse les angles. licence-math.univ-lyon1.fr Toute rotation conserve les angles Toute réflexion renverse les angles. licence-math.univ-lyon1.fr Toute rotation conserve les angles Toute réflexion renverse les angles. licence-math.univ-lyon1.fr Toute rotation conserve les angles Toute réflexion renverse les angles. licence-math.univ-lyon1.fr Toute rotation conserve les angles Toute réflexion renverse les angles. licence-math.univ-lyon1.fr Toute rotation conserve les angles Toute réflexion renverse les angles. licence-math.univ-lyon1.fr Toute rotation conserve les angles Toute réflexion renverse les angles. licence-math.univ-lyon1.fr Toute rotation conserve les angles Toute réflexion renverse les angles. licence-math.univ-lyon1.fr Toute rotation conserve les angles Toute réflexion renverse les angles. licence-math.univ-lyon1.fr Toute rotation conserve les angles Toute réflexion renverse les angles. licence-math.univ-lyon1.fr Toute rotation conserve les angles Toute réflexion renverse les angles. licence-math.univ-lyon1.fr Toute rotation conserve les angles Toute réflexion renverse les angles. licence-math.univ-lyon1.fr Toute rotation conserve les angles Toute réflexion renverse les angles. licence-math.univ-lyon1.fr Toute rotation conserve les angles Toute réflexion renverse les angles. licence-math.univ-lyon1.fr Toute rotation conserve les angles Toute réflexion renverse les angles. licence-math.univ-lyon1.fr Toute rotation conserve les angles Toute réflexion renverse les angles. licence-math.univ-lyon1.fr Toute rotation conserve les angles Toute réflexion renverse les angles. licence-math.univ-lyon1.fr Toute rotation conserve les angles Toute réflexion renverse les angles. licence-math.univ-lyon1.fr Toute rotation conserve les angles Toute réflexion renverse les angles. licence-math.univ-lyon1.fr

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