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Comment montrer qu'un ensemble est fermé ou ouvert ?
— Un ensemble O est ouvert de (X, d) si et seulement si pour toute suite (xn)n≥1 ⊂ X telle que xn −→ x ∈ O, il existe n0 tel que xn ∈ O pour tout n ≥ n0. — Un ensemble F est fermé de (X, d) si et seulement si pour toute suite conver- gente (xn)n≥1 ⊂ F on a limn→∞ xn ∈ F.
Quand Dit-on qu'un ensemble est fermé ?
Un ensemble F est fermé si et seulement si toute limite (dans E) d'une suite généralisée à valeurs dans F appartient à F.
L'espace E est dit séquentiel si cette caractérisation de ses fermés reste vraie en remplaçant « suite généralisée » par « suite ».
Tout espace métrique est séquentiel.
Quels sont les ouverts de R ?
Dans ℝ, pour un intervalle, la définition métrique d'ensemble ouvert coïncide avec l'appellation d'intervalle ouvert : les convexes de ℝ définis par des inégalités strictes.
De plus, les ouverts de ℝ sont les réunions au plus dénombrables d'intervalles ouverts non vides disjoints.
Q est ouvert et fermé dans Q pour une topologie à trouver .
Pour ouvert et fermé faut toujours préciser l'ensemble dans lequel on travaille .

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