Equilibre d 'un point sur un cerceau
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Exercices et examens résolus: Mécaniques des Systèmes de
4- Décomposer le torseur associé à en une somme d’un couple et d’un glisseur dont on indiquera les éléments de réduction 5-Déterminer la position de l’axe central du torseur pour t = 0 et t=2 Corrigé 1- Le point O a pour coordonnés : O = 0 0 0 V ( O ) = 1 0 2 2- Equiprojectivité on utilise les points O et M ; |
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Exercices et Controˆles Corrig´es de M´ecanique
Rappeler ce qu’est un d ́eplacement virtuel et qu’appelle-t-on par le travail virtuel en g ́en ́eral ? Que devient ce travail si le syst`eme est statique ou se d ́eplace avec un mouvement uniforme ? Consid ́erons une masse m plac ́ee en A et reli ́ee par deux tiges rigides aux points et B Les barres de logueur OA = AB = l sont articul ́ees en A L |
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Anneau sur cercle en rotation
G P Sujet colle mécanique du point • Trouver les positions d’équilibre relatif On posera p= g/a 2 • Etudier la stabilité (on étudiera le cas p 1 et le cas p 1 ) • Déterminer la période des petites oscillations autour de la position d'équilibre stable 4 Déterminer la réaction de la circonférence sur l’anneau 5 |
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SERIE D’EXERCICES N° 16 : MECANIQUE : OSCILLATEURS
vitesse initiale par rapport au cerceau Le cerceau est animé d’un mouvement oscillatoire de rotation de faible amplitude autour de son axe Oz : ϕ = ϕ0 cos Ωt où ϕ = ( Ox OA → → ) OA désignant un rayon fixe du cerceau Ecrire l’équation différentielle du second ordre vérifiée par θ (t) |
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Exmecanique 2008-2009 5
Exercices de M ́ecanique (2eP ́eriode) 2008-2009 Exprimer dans la base polaire du sch ́ema les vecteurs − GB − → et −→ GA En d ́eduire les vitesses de B et A dans le r ́ef ́erentiel barycentrique de la tartine D ́eterminer l’ ́energie cin ́etique de la tartine dans Rg lors de la premi`ere phase du mouvement |
Comment calculer le point de contact d’un cerceau ?
Le point de contact du cerceau avec le plan (π) décrit un cercle de rayon R avec une vitesse angulaire uniforme ( Cte ). On désigne par R0(O, x0, y0, z0) le repère lié à (π) et par R1(O1, x1,y1, z0) le repère en rotation autour de l’axe Oz0 (figure. 4a). Le cerceau (C1), dont le centre A1 est lié à R1, est en rotation autour de l’axe O1x1.
Comment calculer l’angle d’un cerceau ?
L’axe du cerceau reste parallèle à l’axe (O IG) et le point de contact décrit un cercle de rayon R avec une vitesse angulaire constante (figure ??). L’angle variable caractérise la rotation du cerceau autour de son axe. On désigne par R 0 O , x , y , z 0 0 0 le repère fixe et par R O , x , y , z le repère lié à (P).
Quel est le point géométrique entre le cerceau et le plan (P) ?
Soient I1, I2 et IG les points de contact entre le cerceau et le plan (P) tels que : I1(C), I2(P) et IG est le point géométrique. 0 . 2- Quel est le vecteur instantané de rotation 0 du cerceau dans R . 3- Donner les éléments de réduction du torseur cinématique en A. En déduire qu’il s’agit d’un glisseur.
Quels sont les points de contact entre le cerceau et le plan (P) ?
On désigne par R 0 O , x , y , z 0 0 0 le repère fixe et par R O , x , y , z le repère lié à (P). On suppose que le plan (P) est fixe dans R0. Soient I1, I2 et IG les points de contact entre le cerceau et le plan (P) tels que : I1(C), I2(P) et IG est le point géométrique.
1.1.1 Exercice
Rappeler ce qu’est un d ́eplacement virtuel et qu’appelle-t-on par le travail virtuel en g ́en ́eral ? Que devient ce travail si le syst`eme est statique ou se d ́eplace avec un mouvement uniforme ? Consid ́erons une masse m plac ́ee en A et reli ́ee par deux tiges rigides aux points et B. Les barres de logueur OA = AB = l sont articul ́ees en A. L
1.1.5 Exercice
Soit un pendule de longueur l avec une masse plac ́ee dans un champs de pesanteur g et astreint `a se d ́eplacer dans un plan (x, y) muni de la base mobile (u r,u θ). La position du point M est rep ́er ́ee par OM −−→ = lu r. Calculer le nomde de degr ́es de libert ́e. En d ́eduire que l’on peut d ́ecrire le syst`eme par la coordonn ́ee θ. Calculer
1.1.6 Exercice
Soit une masse m astreinte `a se d ́eplacer sur une tige ind ́eformable faisant un angle θ avec la verticale OZ, en rotation impos ́ee avec un vecteur de rotation Ω = Ωu Z. La masse est attach ́ee `a un ressort de constante de raideur k et de longueur `a vide l0 et glisse sans frottement. Elle est par ailleurs soumise `a son poids. Ce syst`eme est
1.1.10 Exercice
y Un artisan utilise une ́echelle de hauteur k− ABk − → = L et de masse M pour peindre un mur. Les extr ́emit ́es de l’ ́echelle s’appuient sur le mur et le sol, voir figure ci-contre. Le pied de l’ ́echelle est attach ́e au point O du mur par l’interm ́e- A diaire d’une corde inextensible de longueur l et de masse n ́egligeable de fa ̧con que l’
Xi ∂r i Fi
✪ ∂θ o`ur i est le vecteur qui rep`ere le point d’application de la force. Ce qui donne, en utilisant la base cart ́esienne elkacimi.web.cern.ch
R(O,
+ ̇φk, k ́etant le vecteur selon Oz de la base cart ́esienne. Rappelons aussi que de i ✪ = Ω ∧ e i dt e ́etant l’un des vecteurs de la base sph ́erique. La position de coordonn ́ees, est rep ́er ́ee dans le syst`eme de coordonn ́ees sph ́eriques par trois −−→ OM = r. Comme, m doit se d ́eplacer `a l’int ́erieur de la sph`ere, alors le nombre de
− N e r) ·
✪ ∂θ = −mg(ak − N e r) · (e φ ∧e r) = −mg(ak − N e r) ·e θ = +mgasinθ ∂−−→ OM elkacimi.web.cern.ch
1.2.7 Corrigé
Le syst`eme est form ́e par deux billes reli ́ees par un fil inextensible. Le syst`eme est donc form ́e par deux points mat ́eriels. L’ ́energie cin ́etique du syst`eme est la somme des ́energies cin ́etiques de chacune des billes. Quant `a l’ ́energie potentielle, il faut tenir compte du caract`ere inextensible du fil qui fait que le module de la
1.2.9 Corrigé : Machine d’Atwood. Contraintes
Le dispositif de la machine d’Atwood est d ́ecrit par la figure ci-contre. elkacimi.web.cern.ch
T2 m3g Mg
et que l’on peut r ́esoudre en utilisant la m ́ethode de Cramer R A elkacimi.web.cern.ch
∂F z(x, α),
✪ ∂z α), x ∂z ✪ ∂x(x, ∂z Or ∂z/∂α = η(x) et z′ = y′(x) + αη′(x) d ̃I ✪ = dα elkacimi.web.cern.ch
B = ∇ ∧ A =⇒v ∧ B =v ∧ ∇ ∧ A = vj∇Aj − (vj∇j)A
Rappelons que tout indice r ́ep ́et ́e correspond `a une somme sur cet indice. Ainsi elkacimi.web.cern.ch
· ∇Ai
or vj∇iAj = ∇i(vjAj), car xi et vi sont ind ́ependantes les unes des autres, et ∂ ✪ (φ vjAj) = ∂vi − − ∂vj ✪ Aj = = ∂vi −δijAj −Ai. Nous avons utilis ́e le fait que φ et A ne d ́ependent pas des vitesses. Ce qui permet d’ ́ecrire finalement elkacimi.web.cern.ch
1.2.18 Corrigé
Consid ́erons une particule qui se d ́eplace dans le plan (OXY ). Sachant que l’ ́energie cin ́etique T = T ( ̇x, ̇y) et que L(x, y, ̇x, ̇y, t) = T − V , dire quelle est la loi de sym ́etrie `a laquelle ob ́eit le lagrangien et quelle grandeur est conserv ́ee dans les cas suivants : V (x, y, t) = ax Comme le potentiel ne d ́epend pas explicitem
2.1.3 Exercice
Consid ́erons un syst`eme `a un degr ́e de libert ́e et soit M un point de l’espace des phases dont les coordonn ́ees sont (q, p). Le point M′ est le point de l’espace des phases de coordonn ́ees (Q, P ) obtenu `a partir de M par une rotation d’un angle α. On cherche `a montrer que cette rotation est une transformation canonique et `a d ́eterminer
2.1.7 Exercice
Une particule de masse m ́evolue `a une dimension x. Elle est soumise `a la force elkacimi.web.cern.ch
2.1.8 Exercice
Consid ́erons une particule libre ́evoluant selon une dimension x entre deux murs, s ́epar ́es par une distance ́egale `a L, dont le potentiel peut ˆetre mod ́elis ́e comme suit elkacimi.web.cern.ch
2.2.1 Corrigé
On consid`ere une barre AB homog`ene de longueur 2a et de masse m dont l’extr ́emit ́e A est attach ́ee `a un ressort de constante de raideur k. L’extr ́emit ́e A est assujettie `a se d ́eplacer sans frottement sur l’axe Ox d’un rep`ere la position de A le long de Ox par OA = R(Oxyz) suppos ́e galil ́een. On rep`ere x. La barre AB reste dans le pla
✪ ma2 θ2. ̇
Le bilan des forces est la force de rappel du ressort, F = −kx , le poids P = mg et la r ́eaction normale de l’axe RN qui ne travaille pas puisqu’elle est perpendiculaire aux d ́eplacements de A. Aussi l’ ́energie potentielle associ ́ee au poids et `a la force de rappel est dV = −F dA → − mg dG → = kxdx + mgasinθdθ elkacimi.web.cern.ch
2.2.3 Corrigé
Consid ́erons un syst`eme `a un degr ́e de libert ́e et soit M un point de l’espace des phases dont les coordonn ́ees sont (q, p). Le point M′ est le point de l’espace des phases de coordonn ́ees (Q, P ) obtenu `a partir de M par une rotation d’un angle α. On cherche `a montrer que cette rotation est une transformation canonique et `a d ́eterminer
P Q =
cosα sinα −sinα cosα p q = qcosα psinα − . qsinα + cosα La matrice jacobienne de cette transformation est donn ́ee par M = ✪ ∂Q ✪ ∂Q ∂q ∂p ✪ ∂P ✪ ∂P ∂q ∂p cosα = −sinα . sinα cosα Pour d ́emontrer que la transformation est canonique, il suffit de d ́emontrer que M est une matrice symplectique. En effet et elkacimi.web.cern.ch
2.2.7 Corrigé
Une particule de masse m ́evolue `a une dimension x. Elle est soumise `a la force elkacimi.web.cern.ch
3.1.2 Exercice
Consid ́erons une particule M soumise `a une force centrale attractive de type F = 3 −kr/r et anim ́ee d’un mouvement par rapport `a un rep`ere R(O, xyz) que l’on consid`ere galil ́een. Montrer que le mouvement est plan. On utilise les coordonn ́ees polaires (r, θ) comme coordonn ́ees g ́en ́eralis ́ees. Etablir l’expression du Hamiltonien H(r, θ,
Qr
αθ = pθ, il reste αr = E. Ce qui donne ∂S = ✪ = θ ∂pθ ± elkacimi.web.cern.ch
= −Et.
Quant `a Wx(x), en rempla ̧cant px par ∂Wx(x)/∂x dans l’expression de HJ, on obtient, sachant que dans ce cas la constante d’int ́egration α = E, H(x, p) = elkacimi.web.cern.ch
Questions de cours (3 points)
Montrer que deux lagrangiens diff ́erant par une d ́eriv ́ee totale d’une fonction par rapport au temps, df(qk) L′(qk, ̇qk, t) = L(qk, ̇qk, t) + ✪ dt d ́ecrivent la mˆeme dynamique. Rappeler la d ́emonstration du th ́eor`eme de Noether I(qk, ̇qk) elkacimi.web.cern.ch
∂Ai(xk, t)
D ́eterminer l’expression du hamiltonien H(q, p) et montrer que c’est une int ́egrale premi`ere. D ́eterminer les valeurs limites que peut prendre q. Etablir l’ ́equation de Hamilton-Jacobi est montrer que la variable action est don-n ́ee par l’expression ✪ J = ✪ Z E/α −E/α elkacimi.web.cern.ch D ́eterminer l’expression du hamiltonien H(q, p) et montrer que c’est une int ́egrale premi`ere. D ́eterminer les valeurs limites que peut prendre q. Etablir l’ ́equation de Hamilton-Jacobi est montrer que la variable action est don-n ́ee par l’expression ✪ J = ✪ Z E/α −E/α elkacimi.web.cern.ch D ́eterminer l’expression du hamiltonien H(q, p) et montrer que c’est une int ́egrale premi`ere. D ́eterminer les valeurs limites que peut prendre q. Etablir l’ ́equation de Hamilton-Jacobi est montrer que la variable action est don-n ́ee par l’expression ✪ J = ✪ Z E/α −E/α elkacimi.web.cern.ch D ́eterminer l’expression du hamiltonien H(q, p) et montrer que c’est une int ́egrale premi`ere. D ́eterminer les valeurs limites que peut prendre q. Etablir l’ ́equation de Hamilton-Jacobi est montrer que la variable action est don-n ́ee par l’expression ✪ J = ✪ Z E/α −E/α elkacimi.web.cern.ch D ́eterminer l’expression du hamiltonien H(q, p) et montrer que c’est une int ́egrale premi`ere. D ́eterminer les valeurs limites que peut prendre q. Etablir l’ ́equation de Hamilton-Jacobi est montrer que la variable action est don-n ́ee par l’expression ✪ J = ✪ Z E/α −E/α elkacimi.web.cern.ch D ́eterminer l’expression du hamiltonien H(q, p) et montrer que c’est une int ́egrale premi`ere. D ́eterminer les valeurs limites que peut prendre q. Etablir l’ ́equation de Hamilton-Jacobi est montrer que la variable action est don-n ́ee par l’expression ✪ J = ✪ Z E/α −E/α elkacimi.web.cern.ch D ́eterminer l’expression du hamiltonien H(q, p) et montrer que c’est une int ́egrale premi`ere. D ́eterminer les valeurs limites que peut prendre q. Etablir l’ ́equation de Hamilton-Jacobi est montrer que la variable action est don-n ́ee par l’expression ✪ J = ✪ Z E/α −E/α elkacimi.web.cern.ch D ́eterminer l’expression du hamiltonien H(q, p) et montrer que c’est une int ́egrale premi`ere. D ́eterminer les valeurs limites que peut prendre q. Etablir l’ ́equation de Hamilton-Jacobi est montrer que la variable action est don-n ́ee par l’expression ✪ J = ✪ Z E/α −E/α elkacimi.web.cern.ch D ́eterminer l’expression du hamiltonien H(q, p) et montrer que c’est une int ́egrale premi`ere. D ́eterminer les valeurs limites que peut prendre q. Etablir l’ ́equation de Hamilton-Jacobi est montrer que la variable action est don-n ́ee par l’expression ✪ J = ✪ Z E/α −E/α elkacimi.web.cern.ch
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Polycopié dexercices et examens résolus: Mécaniques des
L'axe du cerceau reste parallèle à l'axe (OIG) et le point de points G et I. Exercice 9: Système sphère + cale en équilibre sur un plan incliné. |
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EXERCICES PROBLEMES PHYSIQUE MPSI PCSI PTSI
1 • Déterminer les positions q = qe d'équilibre du point M sur le cercle. rellement l'effet répulsif du cerceau sur la petite sphère (les. |
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Polycopié dexercices et examens résolus: Mécanique du point
Décrire les caractéristiques d'un mouvement : vitesse accélération |
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Equilibre dun point sur un cerceau.
Soutien 1. Equilibre d'un point sur un cerceau. Un point matériel M de masse m glisse sans frottement sur cerceau vertical de rayon R et de centre C. Le. |
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DM no2 – Dynamique Newtonienne
On considère le mouvement sans frottement d'un point matériel M de masse m dans Caractériser la position d'équilibre (par exemple ? angle que font les ... |
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Ex-M6.1 Moments des forces et condition déquilibre [dapr`es
Dans ce référentiel la réduction canonique permet l'étude du mouvement d'un point fictif |
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Jeux coopératifs sans matériel ou avec petit matériel
L'un d'entre eux fait tournoyer le cerceau au centre du cercle et désigne un laisser aller vers l'arrière jusqu'à un point d'équilibre qui permet de ... |
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DL n 15
Mouvement d'un anneau sur un cerceau Un anneau assimilé `a un point matériel M de masse m est ... 4) Cette position d'équilibre est-elle stable ? |
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PHQ114: Mecanique I
30 mai 2018 Le mouvement d'un point dans l'espace peut être caractérisé ... l'équilibre du ressort en l'absence de gravité la force exercée par le ... |
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MECPT_07 Anneau sur cercle en rotation.pdf
Sujet colle mécanique du point Trouver les positions d'équilibre relatif. ... période des petites oscillations autour de la position d'équilibre stable. |
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Ex-M61 Moments des forces et condition déquilibre [dapr`es
1) Établir le bilan des forces qui s'exercent sur le point M et exprimer leurs moments en A; le seul angle devant intervenir dans ces expressions sera : θ = ( |
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DM no2 – Dynamique Newtonienne
On considère le mouvement sans frottement d'un point matériel M de masse m Caractériser la position d'équilibre (par exemple θ, angle que font les forces de |
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Anneau sur cercle en rotation
Sujet colle mécanique du point MÉCANIQUE DU POINT CHAP 00 Déterminer la période des petites oscillations autour de la position d'équilibre stable 4 |
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TD 14 : Énergétique du point matériel - pcsijbphysique
7) Équilibre et mouvement sur un cercle Un anneau de masse m, assimilable à un point matériel M, peut coulisser sans frottement sur un cerceau vertical de |
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Préparation au Concours Cycle Polytechnicien Filière - Unisciel
1) Point matériel sur un cerceau : d'hydrogène est susceptible de vibrer autour de sa position d'équilibre re En l à l'équilibre (obtenu lorsque z = zéq = 0) |
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Exercices incontournables - Dunod
19 avr 2017 · Cet exercice traite du mouvement relatif d'un point matériel La longueur du ressort à l'équilibre n'est pas égale à la longueur du ressort |
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Devoir surveillé n 06 (correction) 1 Question de cours 2 Équilibre et
d'étude R On appelle moment cinétique d'un point M par rapport à un point O dans La perle est soumise à son poids P, à la réaction normale N du cerceau |
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Mécanique du point matériel - ENSA de Marrakech
3) Indiquer la ou les position(s) d'équilibre de M dans ce référentiel Exercice 15 Une tige OA tourne à la vitesse angulaire constante ω autour de l'axe vertical Oz, |
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Examens corrigés Mécanique du Point Matériel - FP BENI-MELLAL
direct ( ) k,j,i,O ооо ℜ Le point M est repéré par ses coordonnées polaires suivantes : a)- Montrer qu'il ne peut exister une position d'équilibre eq Un cerceau assimilable à un cercle de centre O1 et de rayon a, situé dans un plan vertical |
