exercices corrigés différentiabilité

Exercice 1. Montrer d'après la definition que la fonction : f(x y) = x2 + y2 est différentiable dans R2. Calculer 

Montrer que F est de classe C1 en tout point de R2 et calculer sa différentielle. Correction ?. [002505]. Exercice 4. Soit En l'espace des polynômes de degré 

Exercice 7 Sur un espace (vectoriel) euclidien déterminer en quels points l'ap- plication ? : M ?? AM2 est différentiable et calculer sa différentielle. Même.

Correction de l'exercice ”`a faire `a la maison” : rappelons d'abord l'énoncé. Soit E un espace vectoriel normé et f : E ? L(E) une application différentiable 

Différentiabilité : calcul des dérivées premières. Exercice 1. Montrer que la fonction f : R ? R3t ?? (et

Une norme sur Rn vue comme application Rn ? R

2. f est différentiable sur R. 2 si et seulement si p + q > 3. Donner la différentielle. Exercice 2. Soit f : R2 ? R2 définie par f(x y) = x2sin(y.

est différentiable et calculer sa différentielle en chaque point. Exercice 3.6. Soit E l'espace des matrices carrées n × n. On fixe une matrice M ? E. On 

2.1 Applications différentiables. Exercice 2.1. Soit f une application f de E dans F espaces vectoriels normés de dimension finie.

Polytech’Paris-UPMC Agral32016-2017 TD3–Di?érentiabilitédesfonctionsdeplusieursvariables Exercice1 Montrerd’aprèslade?nitionquelafonction:

1 Que peut-on dire de la différentiabilité de l’application f : R2!R dé?nie par f(x 1;x 2) = kxk ¥ = max(jx 1j;jx 2j)? 2 Généraliser ceci à f : F !R f(x)=kxk ¥ avec F =Rn ou F l’ensemble des suites convergentes vers zero [002514] Exercice 13 Soit f : R2!R l’application x =(x 1;x 2)7!kxk 1 =jx 1j+jx 2j Est-ce qu’elle est

1 Pour réfuter la différentiabilité de f en (0;0) il suf?t de trouver une dérivée directionnelle qui n’est pas combinaison linéaire des dérivées partielles (par rapport aux deux variables) 2 Le plan tangent au point (x 0;y 0; f(x 0;y 0)) du graphe z= f(x;y) de F est donnée par l’équation z f(x 0;y 0)= ¶ f ¶x (x 0;y 0)(x x 0

qu’en master Des exercices corrigés l’accompagnent au long de ce chemin Souvent inspirés d’applications ils sont l’occasion de mettre en pratique les outils introduits dans le texte et leurs solutions mettent en évidence des relations entre les différents chapitres

Exercices corrig´es de calcul di?´erentiel Bernard Le Stum? Universit´e de Rennes 1 Version du 28 mars 2003 Introduction J’ai eu l’occasion de participer pendant plusieurs ann´ees a l’enseignement de l’Unit´ed’EnseignementCDIF(calculdi?´erentiel)delaLicencedeMath´ematiques de l’Universit´e de Rennes 1

L2-S3 MPI 2007-2008 Math´ematiques-Analyse dans Rn TD n 3: Di?´erentiabilit´e Vrai ou faux ? Dans la suite ? d´esigne un ouvert de Rn (a) Si f admet des d´eriv´ees partielles en a ? ? alors f est di?´erentiable en a

Exercices du Chapitre 1 14 Corrig e des exercices du Chapitre 1 15 Chapitre 2- Calculs sur les di eren tielles 22 2 1- Th eor eme des applications compos ees 22 2 2- Structure d’espace vectoriel 23 2 3- Applications a valeurs dans un produit matrice jacobienne 24 2 4- Th eor eme de la moyenne 25 2 4- Th eor emes Ck 29 Exercices du Chapitre 2 34

2 Différentiabilité des fonctions de deux variables (2 séances : page 4) (a) Dérivées partielles fonction C1 développement limité d’ordre 1 pour les fonctions de deux variables Notation de la différentielle df (b) Opérations algébriques composition pour les fonctions de classe C1 (c) Lien entre extremum et point critique

AN3 - Equations différentielles – Exercices TD Corrigés – Rev 2016 6 Fonctions trigonométriques (1er ordre) Résoudre l’équation Z’ cos(u) – Z sin(u) = sin(2u) * Equation sans second membre : c sin cos sin cos Z u Z u Z u u Zu d 0d ln ln cos cos K Z u C Z u H * Variation de la constante : PP c sin; cos cos cos

Fiche exercices (avec corrig´es) - Equations di?´erentielles Exercice 1 Donner l’ensemble des solutions des ´equations di?´erentielles suivantes : 1 y?(x)? 4y(x) = 3 pour x ? R 2 y?(x)+y(x) = 2 expour x ? R 3 y?(x)? tan(x)y(x) = sin(x) pour x ?] ? ? 2 ? 2 [ 4 y?(x) = y(x) x +x pour x ? R? + 5

corrigés des exercices 1 L’énoncé est erroné : l’expression xy x+y n’est pas dé?nie non seulement en (00) mais dès que x+y =0 2 a) Passons en coordonnées polaires : x = rcos ? ysin si (x) 6=(00) Développons sinx à l’ordre 3 : sinx =sin(r cos?)=r cos?? 1 6 r3cos3?+o(r3)? (r ?0) et de même : siny =sin(r