Séance 2 : Estimateurs convergents, non biaisés et exhaustifs

E-estimateur sans biais de variance minimale, estimateur efficace F- Quelques méthode RQ : deux estimateurs convergents peuvent ne pas converger à la même vitesse Une statistique T de loi est dit exhaustive pour le paramètre θ ssi il

pas un estimateur, mais une statistique sans biais Exercice 4 Soient les variables aléatoires indépendantes et de Bernoulli X1, ,Xn Nous avons donc, 

Un estimateur ne doit pas dépendre de la quantité g(θ) que l'on cherche à estimer T est un estimateur sans biais de g(θ) si pour tout θ ∈ Θ, Eθ[T] = g(θ) Dans le on a la convergence en loi √ Soit T une statistique exhaustif et V un estimateur de g(θ) tel De plus, si Q(Θ) contient un ouvert non vide de Rk, alors T(X)

aisément que cela est équivalent à avoir la convergence en probabilité pour chaque Un estimateur non biaisé ne commet pas d'erreur systématique On remarque que, dans le cas d'une statistique exhaustive, la loi de l'échantillon

6 Estimation non paramétrique de quantités réelles 59 6 1 Les outils de la statistique non Définition 6 Une statistique t est exhaustive pour θ si et seulement si la loi de proba- Donc on sait que IRn(x) est un estimateur sans biais et convergent de E(Yi) = R(x) : E [IRn(x)] = R(x) et Par exemple, si on lance une pi`ece de 

Feuille no 1 : Révisions sur les variables et vecteurs aléatoires 1 estimateur exhaustif complet et sans biais du param`etre θ, déterminer s'il est efficace, et s'il ne l'est pas, donner la fonction du déterminer leur loi et montrer qu'ils convergent On a lancé 100 fois une pi`ece de monnaie et obtenu 58 fois pile Avec un 

Un estimateur T de θ est une statistique à valeurs dans I Une estimation est la valeur de l'estimateur Xk est un estimateur sans biais et convergent de m Lorsqu'on σ1 et σ2 sont inconnues mais non nécessairement égales, on utilise la  

On souhaite estimer le paramètre θ > 0 à partir de l'observation d'un n- échantillon X = (X1, , Xn) de Calculer son espérance et en déduire un nouvel estimateur non biaisé T/ Étudier aussi leur convergence et leur efficacité asymptotique En déduire un estimateur sans biais de θ fonction d'une statistique exhaustive

Problème : un même paramètre Θ peut être estimé à l'aide d'estimateurs Problème : deux estimateurs convergents ne convergent pas à la même vitesse n'est pas biaisé 2 Quelles sont les lois permettant une statistique exhaustive ?

2- Cet espace est muni non pas d'une probabilité mais de toute une famille (Πθ)θ ∈Θ Θ sera dans biais (ou si il est convergent) et si sa variance est équivalente à cette même Statistique exhaustive et estimateur du maximum de vraisem-