Estimation et intervalle de confiance - AgroParisTech

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Estimation et intervalle de conﬁance

1 Définir un intervalle de confiance pour la moyenne des passagers (On admet que le poids des passagers suit une loi normale de moyenne m d’écart-type s ) 2 Montrer que l’on peut considérer que le poids des passagers est une variable aléatoire X de moyenne 70 kg d’écart-type 8 kg 3

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Estimations et intervalles de conﬁance Exemple

connaissance des lois de ce estimateurs permet l’estimation par in-tervalle de conﬁance et donc de préciser l’incertitude sur ces esti-mations : intervalle de conﬁance d’une proportion d’une moyenne si la variance est connue ou non d’une variance Retour auplan du cours 1 Introduction

PDF	ESTIMATION PAR INTERVALLES DE CONFIANCE l'estimation ponctuelle du paramètre n'est pas égale à la valeur du paramètre on cherche à intégrer dans l'estimation du paramètre la précision de cette estimation

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MODULE 2 : Estimation par intervalle de confiance

MODULE 2 : Estimation par intervalle de confiance Il s’agit dans ce module de trouver une estimation par intervalle de confiance d’un paramètre θ c’est-à-dire de construire une « fourchette de valeurs numériques permettant de situer » θ avec une probabilité 1 − α

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Intervalles de conﬁance

un intervalle On parlera alors d’intervalle de conﬁance Dans l’exemple 1 on a utilis´e pour construire l’intervalle de conﬁance une v a qui d´epend de l’´echantillon et du param`etre inconnu mais dont la loi ne d´epend pas du param`etre C’est ce que l’on appelle une fonction pivotale

Comment calculer un intervalle de confiance non asymptotique ?
En d ́eduire un intervalle de confiance non asymptotique pour θ dans le mod`ele suivant : pour tout θ ∈ R, Pθ = (1/2)δ−1+θ + (1/2)δ1+θ. Le principe g ́en ́eral, qui suit le raisonnement de l’exercice 24, fonctionne d`es que la mesure μ consid ́er ́ee admet une transform ́ee de Laplace Lμ(t) = E(etX) d ́efinie sur un voisinage de l’origine.
Comment construire un intervalle de confiance ?
Dans l’exemple 1, on a utilis ́e, pour construire l’intervalle de confiance, une v.a. qui d ́epend de l’ ́echantillon et du param`etre inconnu mais dont la loi ne d ́epend pas du param`etre. C’est ce que l’on appelle une fonction pivotale. Cette recherche de fonction pivotale sera l’une des cl ́es pour d ́eterminer des intervalles de confiance.
Comment évaluer la confiance ?
Pour évaluer la confiance que l’on peut avoir en une valeur, il est nécessaire de déterminer un intervalle contenant, avec une certaine probabilité fixée au préalable, la vraie valeur du paramètre : c’est l’es- timation par intervalle de confiance. Soit (X1; : : : ; Xn) un n-échantillon aléatoire et la loi des Xi.
Qu'est-ce que l'estimation par intervalle de confiance ?
soit une estimation donnée par un ensemble de valeurs appartenant à un intervalle : l’estimation par intervalle de confiance contrôlé par un risque d’erreur fixé a priori. DÉFINITION 1. — Un n-échantillon aléatoire issu d’une v.a.r. X est un en- semble (X1; : : : ; Xn) de n v.a.r. indépendantes et de même loi que X.

1. Introduction (2)

l'estimation ponctuelle du paramètre n'est pas égale à la valeur du paramètre on cherche à intégrer dans l'estimation du paramètre la précision de cette estimation ufr-segmi.parisnanterre.fr

⇒cadre pratique : on suppose que la valeur du paramètre d'intérêt est inconnue dans la population P

– sur l'échantillon de taille n : Îévaluer la précision de l'estimation Îdonner un intervalle (fourchette) de valeurs plausibles pour la valeur du paramètre : estimation par intervalle ufr-segmi.parisnanterre.fr

1.1 Variable quantitative

Exemple : durée de chômage = { chômeurs français } N = ? = "durée de chômage" (en mois) variable quantitative μ = durée moyenne inconnue σ = écart-type de la durée ufr-segmi.parisnanterre.fr

1.2 Variable qualitative

Exemple : efficacité d'un traitement = { enfants atteints de troubles de l'anxiété, sous traitement } N = ? = "amélioration clinique" : oui, non variable qualitative dichotomique = proportion d'amélioration ufr-segmi.parisnanterre.fr

modèle normal

moyenne μ inconnue écart-type σ connu échantillon de X issu de P de taille n la moyenne empirique X suit un modèle normal de moyenne μ et d'écart-type σ / √n Xn ~ N   μ, σ   n  l'intervalle de variation au niveau (1−α) ou au risque α de X s'écrit : n ufr-segmi.parisnanterre.fr

à (1−α)

dans l'estimation de la moyenne μ varie tous les intervalles de confiance de la moyenne μ sont centrés sur x la moyenne observée sur l'échantillon de taille n l'intervalle de confiance dépend de la moyenne observée x de l'écart-type observé sans biais s* du niveau (1−α) ou du risque α de la taille de l'échantillon n l'intervalle de confiance ne dép

à (1−α)

Exemple variable qualitative (1)

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