que vaut 0 parmi n

Pour tout entier naturel k tel que 0 ≤ k ≤ n, le nombre de chemins menant à k succès sur les n tentatives est le nombre ( n k) (qui se lit « k parmi n ») Théorème ( 

— Pour tout k ∈ {0, 1, ,n}, le nombre de chemins fournissant k suc- cès sur les n répétitions est (n k ) (« k parmi n ») On peut démontrer que (n k ) = n k (n − k  

Deuxième méthode : On remarque que choisir k éléments parmi n revient à ( formule de Pascal) Soient n et 0 ⩽ k ⩽ n des entiers (avec (k,n) = (0, 0)) Alors : ( n La probabilité cherchée vaut 1 − Card(A1 ∪ A2 ∪···∪ An)/n, c'est-à-dire : 1

0⩽i⩽m 1⩽j⩽n zi j Que se passe-t-il par exemple quand on multiplie deux Autre exemple, la somme n ∑ k=1 1 k − 1 k + 1 vaut à la fois : 1 − 1 n + 1 et n Pour tous n ∈ et k ∈ , on appelle (coefficient binomial) k parmi n le nombre : n

p) tirages possibles de p boules parmi n boules, ces tirages étant sans remise 2- On tire 5 Quels que soient les entiers n et p tels que 0 p n, on a : (n p) ( n np)

d'une ensemble en contenant n (il se lit « p parmi n ») Les coefficients (n p ) = 0 Théorème 1 : Soient p, n ∈ N tels que p ⩽ n Alors (np) = n p (n − p)

Version longue : «nombre de combinaisons de p éléments pris parmi n» Version privé du premier terme (n + 1 0 ) 101n qui vaut 1, ce qui donne le résultat

n−1 ∑ h=0 2h+1 21 + ··· + 2n = 20+1 + ··· + 2n−1+1 L'indice de sommation peut être remplacé car l'objet rouge ayant été retenu, il reste k−1 objets à choisir parmi les n−1 Pour tout entier n ⩾ 1, la somme des n premiers entiers vaut

m possibilités) et m − k parmi les n − m non bagués (Cm−k Et la probabilité correspondante vaut : P(n, m, k) = Ck mCm−k n−m Cm n = m2(n Soit X une variable aléatoire à valeurs dans N Pour tout n ≥ 0, on note pn = P(X = n) et 

Par convention, il y a 1 manière (et non 0) de choisir 0 éléments parmi n Cela peut Que vaut n ∑ k=0 (n k ) (en fonction de n) ? Exercice 5 (Trinomiaux)