combinaison linéaire de vecteur

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Comment faire une combinaison linéaire des vecteurs ?
Considérons les vecteurs e₁ = (1, 0, 0), e₂ = (0, 1, 0) et e₃ = (0, 0, 1).
Alors, tout vecteur (a₁, a₂, a₃) de ℝ³ est une combinaison linéaire de e₁, e₂ et e₃.
En effet, (a₁, a₂, a₃) = a₁(1, 0, 0) + a₂(0, 1, 0) + a₃(0, 0, 1) = a₁e₁ + a₂e₂ + a₃e₃.
Comment calculer la combinaison linéaire ?
On dit que M est combinaison linéaire de A,B et C ssi M est de la forme aA + bB + cC, avec a,b,c réels.
On sait dire ça de trois autres façons : on peut trouver trois nombres a,b,c vérifiant M = aA + bB + cC, il existe trois réels a,b,c vérifiant M = aA + bB + cC.
Comment montrer qu'une matrice est une combinaison linéaire ?
Il suffit de montrer que chaque [xy]∈R2 [ x y ] ∈ R 2 peut s'écrire en tant que combinaison linéaire de [11] et [1−1] , c'est-à-dire qu'il existe des scalaires α et β tels que [xy]=α[11]+β[1−1] [ x y ] = α [ 1 1 ] + β [ 1 − 1 ] , ou de façon équivalente, [xy]=[α+βα−β].
Inversément, une famille est liée lorsqu'il existe une combili de ses vecteurs qui donne 0 et dont les coefficients ne sont pas tous nuls. )+(−1)(1, 2, 4) = (0, 0, 0) avec des coefficients qui ne sont pas tous nuls (ils sont même tous non nuls).
Noter qu'une famille qui contient 0 est toujours liée.

On appelle combinaison linéaire de →u1,…,−→un u 1 → , … , u n → tout vecteur s'écrivant a1→u1+⋯+an−→un a 1 u 1 → + ⋯ + a n u n → où les a1,…,an a 1 , … , a n sont des réels appelés coefficients de la combinaison linéaire.

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