ln exp formules

Logarithme et Exponentielle : eln x = ln(ex) = x ln 1 = 0 ln(ab) = ln(a) + ln(b) ln(a/b ) = ln(a) − ln(b) ln(1/a) = − ln(a) ln( √a) = ln(a)/2 e−x = 1/ex √ex = ex/2

0 y = ln(x) e y = ex p (x ) e Fonction exponentielle f(x) = exp(x) = ex définie sur R à valeurs dans ]0; +∞ [ e0 = 1 e1 = e ≈ 2, 718 (ex)′ = ex (eu)′ = u′eu lim

La fonction ln est une bijection de ]0, +∞[ sur R L'appli- cation réciproque est la fonction exponentielle On la note exp 1 Page 2 

ln10 Conséquences : a) y = lnx avec x > 0 ⇔ x = ey b) ln1= 0 ; lne = 1 ; ln 1 e = −1 Remarque : Cette formule permet de transformer un produit en somme

Remarque : On rappelle que la fonction ln n'est définie que sur ]0 ; +∞[ mais plusieures formules : Proposition 5 : Pour tous a et b réels on a : 1 ea = e−a ; ea

ln 1 = 0 • ln e = 1 Remarque : La fonction exponentielle transformant une somme en produit, on peut penser que la fonction logarithme népérien qui est sa  

1 Fonctions élémentaires Les résultats suivants font référence dans de très nombreuses situations 1 1 Limite en +∞ et −∞ f(x) xn 1 xn √ x 1 √ x ln(x) ex lim

Tracé de la fonction logarithme népérien : 0 1 e 1 y = ln x lim x→+∞ ln x = +∞ lim x→0 + On en déduit toutes sortes de formules dont notamment : e2 ln x = 

e ln(e) = 1 ln(1) = 0 Propriétés analytiques • La fonction logarithme népérien est définie et dérivable sur ]0, +∞[ et Pour tout réel x>0, (ln)′(x) = 1

Exprimer les relations de réciprocité entre les fonctions ln et exp à l'aide de la composition 9 [Activité] Compléter les formules suivantes : a [ln( f (x))] ' =