ln(a+b)

Théorème 1 Pour tous réels a et b stritement positifs : lnab = lna + lnb lna + ln 1 b= lna ¡ lnb Corollaire 2 Si a1;a2;:::;an sont n réels strictement positifs :

Logarithme et Exponentielle : eln x = ln(ex) = x ln 1 = 0 ln(ab) = ln(a) + ln(b) ln(a/b ) = ln(a) − ln(b) ln(1/a) = − ln(a) ln( √a) = ln(a)/2 ln(aα) = α ln(a) e0 = 1 ex+y = 

lna > lnb est équivalent à a > b 5 Nombre e On appelle e le nombre (unique) dont le logarithme vaut 1 (notation due à Euler) : ln(e) = 1 Valeur approchée : e  

b = ab Sachant que si e x = y, alors x = ln y , on en déduit lna + lnb = ln(ab) a b On peut écrire lna = ln( a a ) = ln a + ln a = 2ln a donc ln a = 1 2 lna Pour tout 

e ln b Or la fonction exponentielle est strictement croissante sur R donc lna < lnb Propriétés algébriques Pour tous réels a et b de ]0; +∞[, ln(ab) = lna + lnb

1 nov 2011 · Pour tous réels a et b strictement positifs : ln(a×b) = ln(a)+ln(b) Pour tous réels a et b strictement positifs : lna = lnb si et seulement si a = b

On a donc ln a < ln b On en déduit que la fonction ln est strictement croissante sur ] 0 ; +∞ [ Page 2 - Logarithme népérien - 2 / 4 Conséquences Pour tous réels 

1 x = −lnx b) ln x y = lnx − ln y c) ln x = 1 2 lnx d) lnxn = nlnx avec n entier relatif X − lna Comme la fonction exponentielle est dérivable sur ℝ, on a : lim

Soient a et b deux réels strictement positifs tels que a

– Pour tous réels a > 0 et b > 0, ln a b = lna - lnb – Pour tout réel a > 0 et tout réel b, lnab = blna 6 Etude de la fonction lnx