Fonctions usuelles

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Chapitre 5 : Les fonctions usuelles

Les fonctions usuelles 2 Construire des fonctions r´eciproques Si f est une fonction bijective d’un ensemble E ⊂ Rdans un ensemble F ⊂ R alors il existe une unique fonction g : F → E telle que g f est l’identit´e sur E et f g est l’identit´e sur F On a alors ∀x ∈ E ∀y ∈ F f(x) = y ⇔ g(y) = x (5 1)

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Fonctionsusuelles

Vous connaissez depuis longtemps les fonctions trigonométriques l’exponentielle et le logarithme Notre premier objectif sera de démontrer rigoureusement leurs propriétés Nous introduirons aussi les fonctions hyperboliques ainsi que les fonctions réciproques des fonctions trigonométriques et hyperboliques Pour comprendre les démonstrations vous

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Chapitre 2 : Fonctions usuelles

Principales propriétés des exponentielles : On dispose de la formule explicite suivante : expa(x) = exln(a) Lorsque a > 1 la fonction expa est strictement croissante et admet les mêmes limites que l’exponentielle Lorsque 1 la fonction expa est strictement décroissante ; lim expa(x) = et x→−∞ +∞ lim expa(x) = 0

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Chapitre 7

Chapitre 7 - Fonctions usuelles Nos objectifs : Voir et revoir les fonctions x ÞÑ ln x et x ÞÑ ex ainsi que leurs propriétés Définir et manipuler les fonctions puissances Les comparer Définir et manipuler les fonctions hyperboliques ch et sh Malgré les apparences ce sont les plus faciles ! Revoir la fonction x ÞÑtan x

PDF	Fonctions usuelles et réciproques Fiche de cours Conseilsméthodologiques Déterminerlaréciproqued’unefonctionbijective Si f est une fonction bijective de Edans F alors f−1 est déﬁnie de F dans E Pour déterminer l’image d’unélémentdeFparf−1onrésoutl’équationd’inconnuexdansE:

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Chapitre 8 : Fonctions usuelles I

II Fonctions affines et fonctions linéaires Définition : a et b sont deux réels donnés Lorsqu’à chaque réel x on associe le réel a x + b on définit une fonction affine f et on note f ( x ) = a x + b Ex : f (x) = 3x + 5 et g (x) = 2x – 7 sont des fonctions affines lorsque b = 0 la fonction est dite linéaire comme par

Comment calculer les propriétés des exponentielles ?
Principales propriétés des exponentielles : On dispose de la formule explicite suivante : expa(x) = exln(a). Lorsque a > 1, la fonction expa est strictement croissante et admet les mêmes limites que l’exponentielle. x→−∞ +∞ lim expa(x) = 0.
Qu'est-ce que la fonction f ?
La fonction f est dite si l’une de ces propriétés équivalentes est vérifiée : bijective • Pour tout y ∈ F, l’équation f(x) = y d’inconnue x ∈ E admet une unique solution. Il existe une application g de F dans E tel que fog = idF et gof = idE. Dans ce cas, g est unique, et appelée f et se note f−1. f(x) = y ⇐⇒ x = f−1(y).
Qu'est-ce que les fonctions usuelles ?
Chapitre 5 : Les fonctions usuelles On appelle fonctions usuelles les fonctions qui sont suffisamment utilis ́ ees pour qu’on leur donne un nom et qu’on connaisse par cœur leurs propri ́ et ́ es ́ el ́ ementaires. La liste des fonctions usuelles d ́ epend donc de l’usage qu’en fait la personne et donc du domaine des sciences consid ́ er ́ e.
Quel est le domaine de définition de la fonction puissance ?
Les fonctions puissances sont continues et dérivables sur leur domaine de définition, de dérivée nxn−1 lorsque n = 0 6 (la dérivée de la fonction constante x0 étant nulle). Lorsque n est un entier pair strictement positif, la fonction puissance n est paire, décroissante sur ] − ∞; 0] et croissante sur [0; +∞[. Elle a pour limite +∞ en −∞ et en +∞.

Bernard Ycart

Vous connaissez depuis longtemps les fonctions trigonométriques, l’exponentielle et le logarithme. Notre premier objectif sera de démontrer rigoureusement leurs propriétés. Nous introduirons aussi les fonctions hyperboliques ainsi que les fonctions réciproques des fonctions trigonométriques et hyperboliques. Pour comprendre les démonstrations, vous

OM

−→ −→ = cos(b) cos(a) OI + sin(a) OJ + sin(b) −→ −→ − sin(a) OI + cos(a) OJ = cos(a) cos(b) − sin(a) sin(b) −→ OI + sin(a) cos(b) + cos(a) sin(b) D’où le résultat. Il ne nous reste plus qu’à démontrer la dérivabilité. −→ www-fourier.ujf-grenoble.fr

2.4 Devoir

Essayez de bien rédiger vos réponses, sans vous reporter ni au cours, ni au corrigé. Si vous souhaitez vous évaluer, donnez-vous deux heures ; puis comparez vos réponses avec le corrigé et comptez un point pour chaque question à laquelle vous aurez correctement répondu. www-fourier.ujf-grenoble.fr

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