exercices sur les integrales generalisees - IECL
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Intégrales Généralisées
Exercice 1 Montrer la convergence et calculer la valeur des intégrales : ????1=∫ 3 − +∞ 0; ????2=∫ 1 √ 2+1 +∞ 1; ????3=∫ ln( ) ( 2+1)2 +∞ 0 Allez à : Correction exercice 1 Exercice 2 Les intégrales généralisées suivantes convergentes ou divergentes ? ????1=∫ ln( ) +∞ 2; −????2=∫ln( ) 2 0 |
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INTÉGRALES GÉNÉRALISÉES
2 — Nature d’intégrales généralisées 3 3 — Exercices complémentaires (plus di ciles) 6 1 — Calcul d’intégrales généralisées par primitivation Exercice 1 1 Convergence et calcul des intégrales suivantes |
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Exo7
Correction de l’exercice 12 N Puisque f est de classe C1 sur R+ pour x > 0 converge en +¥ si et seulement si f a une limite réelle R x f 0(t) dt 0 = f (x) f (0) Donc l’intégrale 0 ` quand x tend vers +¥ R +¥ f 0(t) dt Si de plus l’intégrale converge il est exclus d’avoir ` 0 et réciproquement si ` = R |
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Exercices sur les int´egrales g´en´eralis´ees
Puisque les fonctions int´egr´ees sont positives la fonction F n d´efinie par F n(α) = Zα 0 xne−x dx est croissante et poss`ede une limite finie ou non a +∞ En int´egrant par parties si n ≥ 1 Z xne−x dx = −xne−x + Z nxn−1e−x dx Mais lim x→∞ xe−x = 0 Il en r´esulte que lim α→∞ Zα 0 xne−x dx = n |
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Calculs d’intégrales
Exercice 1 Calculer les intégrales suivantes I 1 = ⁄ 2 1 3 x2 + 3 x2 4 dx Primitives : ⁄ 3 x2 + 3 x2 4 dx = ⁄ (x2 +3x≠2)dx = x3 3 +3 x≠1 ≠1 +C = 1 3 x3 ≠ 3 x +C (C œ R) Intervalles de définition : ]≠Œ0[ plus ]0+Œ[ (ce n’est pas Rú) I 1 = ⁄ 2 1 3 x2 + 3 x2 4 dx = # 1 3 x 3≠ x $ 2 1 =! 8 3 ≠ 3 2 \" ≠! 1 ≠3 |
Comment calculer les intégrales ?
Exercice 1. Calculer les intégrales suivantes. I1 = œ R). Intervalles de définition : Intervalles de définition : ]≠Œ, 0[ plus ]0, +Œ[ (ce n’est pas Rú). dx = x3 3 + 3x≠1 1 3 ≠1 C + = 3x3 ≠ x (ce n’est pas Rú). ’ s œ R). Exercice 2. Pour chaque intervalle I et chaque fonction f, calculer toutes les primitives de f sur I (si possible) 1.
Comment déterminer là convergence d’une intégrale généralisée ?
Là encore, on peut revenir à la définition de la convergence d’une intégrale généralisée : on utilise alors les changements de variable des intégrales non généralisées puis on passe à la limite. III. Dans cette section, f désigne une fonction réelle continue et positive sur [a,b[ avec ¡1 Ç a Ç b · Å1. 1. Une CNS de convergence Propriété.
Comment savoir si l’intégrale est divergente ?
de l’intégrale, il faut s’intéresser au comportement au voisinage de 0 et de 1. Si 0 < " < + A, on a donc l’intégrale est divergente. Autre m ́ ethode. R dx — C’est une intégrale de Riemann R il y a divergence de l’intégrale au voisinage de 0.
Quels exercices corrigés sont proposés sur les intégrales généralisées ?
On propose des exercices corrigés sur les intégrales généralisées (intégrales impropres). Des intégrales sur un intervalle non-borné ou intégrale d’une fonctions non définie aux bornes de l’intégrale. En particulier, on trait la convergence et semi-convergence des intégrales généralisées.
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