construction point par point d'une courbe geometrique remarquable PDF Cours,Exercices ,Examens
CONSTRUCTION GEOMETRIQUE 1
Commentaire : Construction point par point d’une courbe géométrique remarquable b) Place un point S sur le cercle c) Place un point A sur le cercle et trace la droite (SA) d) Construis les points B et C sur la droite (SA) tels que les distances AB et AC soient égales au rayon du cercle |
CONSTRUCTION GEOMETRIQUE 1
Construction point par point d’une courbe géométrique remarquable 1) a) Prends ta feuille dans le sens de la largeur b) Construis horizontalement et bien au centre de ta feuille le segment [AB] de longueur c) Place le point M tel que la différence des distances MA et MB soit égale à 5 cm |
CONSTRUCTION GEOMETRIQUE 1
Constructions point par point de courbes géométriques remarquables 1) a) Dessine au centre de ta feuille un cercle de centre O et de rayon 8 cm b) Place un point A sur ce cercle c) Place un point M sur le cercle Trace le segment [OM] d) Trace d’un trait fin la perpendiculaire au segment [OM] et passant par M Cette droite s’appelle (d) |
Exo7
Ce recueil regroupe différents chapitres de géométrie de niveau première et deuxième année |
Quel est le point le plus proche de toutes les droites ?
On reçoit 4 signaux sous la forme de 4 droites du plan. On cherche quel est le point du plan « le plus proche » de toutes les droites. Les équations sont les suivantes : Bien sûr dans le cas de deux droites le point « le plus proche » serait le point d’intersection.
Comment calculer les points d'un cercle ?
Nous ce qui nous intéresse ce sont les points du cercle f1( x, y 0 , la méthode de linéarisation consiste à ( ) = ) remplacer ce cercle par les points de la droite ( g1( x, y 0 . Cette droite est une droite proche (mais pas ) = ) égale) à la tangente au cercle.
Comment exprimer sa passion pour la géométrie ?
Vive la géométrie Enfin, avec un peu de patience et 12 transformations (que nous vous laissons le soin de retrouver), vous pouvez exprimer votre passion pour la géométrie à l’infini! La seconde image est un zoom du coin supérieur gauche. 8. Dimension de Hausdorff 8.1. Intuition Il serait dommage de ne pas parler de dimension d’un ensemble fractal.
Comment tracer des points à partir de cercles et de droites ?
Vous pouvez maintenant tracer d’autres points, à partir de cercles et de droites en respectant les conditions suivantes : vous pouvez utiliser les points obtenus comme intersections de deux droites tracées, ou bien intersections d’une droite et d’un cercle tracé, ou bien intersections de deux cercles tracés.
Géométrie
Ce recueil regroupe différents chapitres de géométrie de niveau première et deuxième année. exo7.emath.fr
Chapitre
Vidéo Vidéo partie partie Constructions Nombres constructibles exo7.emath.fr
Vidéo partie 5. Applications aux problèmes grecs
Vous avez à votre disposition une règle et un compas et bien sûr du papier et un crayon Avec si peu de matériel s’ouvre à vous un monde merveilleux rempli de géométrie et d’algèbre. exo7.emath.fr
1. Constructions et les trois problèmes grecs
Nous allons voir dans cette première partie que tout un tas de constructions sont possibles. Mais le but de ce cours est de répondre à trois problèmes qui datent des mathématiciens grecs : la trisection des angles, la duplication du cube ainsi que le célèbre problème de la quadrature du cercle. exo7.emath.fr
1.1. Premières constructions géométriques
Nous avons à notre disposition un compas et une règle (non graduée). On démarre par des constructions élémentaires. Si A, B sont deux points donnés du plan, alors on peut construire, à la règle et au compas, le symétrique de B par rapport à A. Pour cela, il suffit juste de tracer la droite A passant par B. Cette droite et ce cercle se coupent en B
1.2. Règles du jeu
Il est peut-être temps d’expliquer ce que l’on est autorisé à faire. Voici les règles du jeu : partez de points sur une feuille. Vous pouvez maintenant tracer d’autres points, à partir de cercles et de droites en respectant les conditions suivantes : vous pouvez tracer une droite entre deux points déjà construits, vous pouvez tracer un cercle dont
1.5. La trisection des angles
Considérons un angle , c’est-à-dire la donnée d’un point A et de deux demi-droites issues de ce point. Nous savons diviser cet angle en deux à l’aide d’une règle et d’un compas : il suffit de tracer la bissectrice. Pour cela on fixe un écartement de compas et on trace un cercle centré en A : il recoupe les demi-droites en des points B et C. On trac
2. Les nombres constructibles à la règle et au compas
Pour résoudre les trois problèmes grecs, il va falloir les transformer complètement. D’une question géo-métrique nous allons passer à une question algébrique. Dans cette partie on ramène le problème de la construction de points dans le plan à la construction de points sur la droite numérique réelle. exo7.emath.fr
Q C
R Autrement dit, tous les rationnels (et en particulier tous les entiers) sont des nombres réels constructibles. La preuve découle facilement de la proposition : exo7.emath.fr
Q CR.
Nous allons voir que C R contient davantage de nombres que les rationnels. exo7.emath.fr
2.4. Les ensembles
Une dernière motivation à propos des nombres constructibles concerne les ensembles. Nous avons les inclusions d’ensembles : exo7.emath.fr
3. Éléments de théorie des corps
La théorie des corps n’est pas évidente et mériterait un chapitre entier. Nous résumons ici les grandes lignes utiles à nos fins. Il est important de bien comprendre le paragraphe suivant; les autres paragraphes peuvent être sautés lors de la première lecture. exo7.emath.fr
3.2. Corps
Un corps est un ensemble sur lequel sont définies deux opérations : une addition et une multiplication. exo7.emath.fr
Proposition 3.
L’ensemble des nombre réels constructibles CR, , ( + est un corps inclus dans R. ) On a aussi que CC, +, ( est un corps inclus dans ) C. exo7.emath.fr
3.3. Extension de corps
Nous cherchons des propositions qui lient deux corps, lorsque l’un est inclus dans l’autre. Les résultats de ce paragraphe seront admis. exo7.emath.fr
Proposition 4.
Soient K, L deux corps avec K L. Alors L est un espace vectoriel sur K. exo7.emath.fr
Corollaire 2.
Si x et y sont des nombres réels algébriques alors x y et x aussi. Démonstration. Comme x est un nombre algébrique alors L Q = x est une extension finie de ( ) exo7.emath.fr
4. Corps et nombres constructibles
Cette partie est la charnière de ce chapitre. Nous expliquons à quoi correspondent algébriquement les opérations géométriques effectuées à la règle et au compas. exo7.emath.fr
5.1. L’impossibilité de la duplication du cube
La duplication du cube ne peut pas s’effectuer à la règle et au compas. Cela découle du fait suivant : exo7.emath.fr
5.3. L’impossibilité de la trisection des angles
La trisection des angles ne peut pas s’effectuer à la règle et au compas. Plus précisément nous allons exhiber un angle que l’on ne peut pas couper en trois. exo7.emath.fr
Indications :
Un nombre algébrique est par définition une racine d’un polynôme P de Q [X ]. R n’est pas dénombrable. exo7.emath.fr
L’inversion 2
L’inversion géométrique est une transformation remarquable du plan. Par exemple, elle peut changer une droite en un cercle et un cercle en une droite. Nous étudions ici quelques propriétés de l’inversion. Cela nous permettra de créer un dispositif mécanique qui transforme un mouvement circulaire en un mouvement rectiligne. Nous montrerons enfin que
1.3. Les cercles-droites
Les deux paragraphes précédents conduisent à la définition suivante. exo7.emath.fr
Corollaire 1.
L’image par une homographie d’un cercle-droite est un cercle-droite. Démonstration. L’image d’une droite par une translation est une droite. De même, l’image d’un cercle par une translation est un cercle. Il en va de même pour les rotations, pour les homothéties et pour les réflexions. L’image d’un cercle par une inversion est un cercle ou une droi
Corollaire 3.
Soit i une inversion. Si deux courbes C et C sont tangentes en un point M (resp. perpendiculaires en M) alors les courbes i ( C et i ( C sont tangentes en i ( M (resp. perpendiculaires en i ) ( M ). ) exo7.emath.fr
4.1. La courbe de Watt
Le but est de transformer un mouvement circulaire en mouvement rectiligne (ou l’inverse). Une solution simple est d’utiliser une bielle et un piston. Le problème est que le coulissage génère des frottements au niveau du piston. bielle roue piston L’ingénieur James Watt améliora le dispositif en inventant un mécanisme qui permet d’obtenir une portio
4.2. L’inverseur de Peaucellier
La chaînette est le nom que porte la courbe obtenue en tenant une corde (ou un collier, un fil,
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. On dit aussi qu'un point est « sur » la courbe.
. Réciproquement, tous les points de la courbe ont pour coordonnées (x ; f(x)).
Comment construire un lieu géométrique ?
. Son intersection sur le cercle est appelé B1.
Comment Appelle-t-on un point en géométrie ?
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