Calculs sur les matrices - Exo7 - Emathfr

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Calculs sur les matrices

On fait ceci pour toutes les matrices élémentaires E ij avec 1 6i; j 6n ce qui implique A=B Correction del’exercice4 N Notons A = (a ij) notons B = tA si les coefﬁcients sont B = (b ij) alors par déﬁnition de la transposée on a b ij =a ji Ensuite notons C = A B alors par déﬁnition du produit de matrices le coefﬁcients c

PDF	Exo7 Deux matrices sont égales lorsqu’elles ont la même taille et que les coefficients correspondants sont égaux L’ensemble des matrices à n lignes et p colonnes à coefficients dans K est noté Mnp( K Les éléments de ) Mnp( R ) 1 DÉFINITION sont appelés matrices réelles

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Chapitre 1: Calculs matriciels

Chapitre 1: Calculs matriciels 1 1 Définitions de base Introduction : Une matrice est un tableau rectangulaire formé de nombres réels Grâce aux matrices on peut par exemple codifier dans un même objet toute l'informa-tion d'un système d'équations Nous verrons dans ce chapitre comment effectuer des opérations sur ces matrices

Comment calculer la matrice ?
A + B = (cij) , avec cij= aij+ bij Exemple : 1 −1 03 ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ + 22 10 Définition : Si A = (aij) est une matrice de type m×n et si λ ∈ IR , alors λA désigne la matrice obtenue en multipliant tous les coefficients de A par le nombre λ:
Comment résoudre une équation matricielle ?
Il faudra en être attentif lors de la résolution d’équations matricielles. • Le produit de deux matrices n’est en général pas commutatif. Les manipulations algébriques de matrices seront délicates. Déterminer 2 matrices carrées A et B d’ordre 2 tels que a) AB = BA b) AB = -BA Exercice 1.16 :
Comment savoir si une matrice est échelonnée ?
• Une matrice A est dite échelonnée si les deux conditions sui- vantes sont vérifiées: 1) Le pivot d’une ligne est toujours situé à droite du pivot de la ligne précédente. 2) Toutes les lignes nulles de la matrice (c’est-à-dire constituée entièrement de zéro) sont situées sous les lignes qui comp- tent des éléments non nuls (donc un pivot).
Qu'est-ce que la matrice unité d'ordre ?
La matrice unité d’ordre p est telle que tous les éléments de la diagonale principale sont égaux à 1, les autres étant tous nuls. On peut formaliser cela en introduisant le symbole de Kronecker. Si i et j sont deux entiers, on appelle symbole de Kronecker, et on note i,j, le réel qui vaut 0 si i est différent de j, et 1 si i est égal à j.

Définition 2.

Deux matrices sont égales lorsqu’elles ont la même taille et que les coefficients correspondants sont égaux. L’ensemble des matrices à n lignes et p colonnes à coefficients dans K est noté Mn,p( K . Les éléments de ) Mn,p( R ) 1. DÉFINITION sont appelés matrices réelles. exo7.emath.fr

p. Leur somme C n

= A B est la matrice de taille + p définie c ij a = ij b ij. + En d’autres termes, on somme coefficients par coefficients. Remarque : on note indifféremment aij où ai,j pour les coefficients de la matrice A. exo7.emath.fr

2.4. Propriétés du produit de matrices

Malgré les difficultés soulevées au-dessus, le produit vérifie les propriétés suivantes : exo7.emath.fr

Exemple 13.

• Soit In la matrice carrée identité de taille n n. C’est une matrice inversible, et son inverse est elle-même par l’égalité InIn = In. La matrice nulle 0 de taille n n n’est pas inversible. En effet on sait que, pour toute matrice B de M n( K , on a ) exo7.emath.fr

Proposition 7.

Soient A et B deux matrices inversibles de même taille. Alors AB est inversible et exo7.emath.fr

1 1 AB B 1A

( ) = Il faut bien faire attention à l’inversion de l’ordre exo7.emath.fr

Simplification par une matrice inversible

Si C est une matrice quelconque de Mn(K), nous avons vu que la relation AC = BC où A et B sont des éléments de Mn( K n’entraîne pas forcément l’égalité ) A B. En revanche, si C est une matrice inversible, on a la proposition = suivante : exo7.emath.fr

Proposition 8.

Soient A et B deux matrices de Mn( K ) et C une matrice inversible de Mn( K . Alors l’égalité AC ) = BC implique l’égalité exo7.emath.fr

B CC

( ) d’après la définition de l’inverse AI BI, d’où = exo7.emath.fr

Théorème 1.

Un système d’équations linéaires n’a soit aucune solution, soit une seule solution, soit une infinité de solutions. exo7.emath.fr

Définition 8.

Deux matrices A et B sont dites équivalentes par lignes si l’une peut être obtenue à partir de l’autre par une suite d’opérations élémentaires sur les lignes. On note A B. exo7.emath.fr

Définition 9.

Une matrice est échelonnée si : • le nombre de zéros commençant une ligne croît strictement ligne par ligne jusqu’à ce qu’il ne reste plus que des zéros. exo7.emath.fr

Étape B.2. Élimination.

On élimine les termes situés au-dessus des positions de pivot comme précédemment, en procédant à partir du bas à droite de la matrice. Ceci ne modifie pas la structure échelonnée de la matrice en raison de la disposition des zéros dont on part. exo7.emath.fr

6.1. Matrices triangulaires, matrices diagonales

Soit A une matrice de taille n n. On dit que A est triangulaire inférieure si ses éléments au-dessus de la diagonale sont nuls, autrement dit : exo7.emath.fr

Définition 12.

Une matrice A de taille n est symétrique si elle est égale à sa transposée, c’est-à-dire si exo7.emath.fr

Exemple 22.

Pour une matrice B quelconque, les matrices B BT et BT B sont symétriques. Preuve : BBT T BT T BT BBT. Idem pour BT B. ( ) = ( ) = exo7.emath.fr

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