Espaces compacts - LMAH (Laboratoire de Mathématiques


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PDF Espaces métriques compacts

ESPACES MÉTRIQUES COMPACTS Pour simplifier on dira qu'une partie A est bornée si ρ(A) := sup xy∈A d(x y) < ∞ Parfois ρ(A) est appelé diam`etre de A 

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  • C'est quoi un compact en maths ?

    On dit que (X, d) est compact s'il a la propriété suivante : pour toute suite (xn) d'éléments de X, il existe une sous-suite (xnk ) qui converge dans X.
    Un exemple fondamental d'espace compact est donné par un intervalle fermé borné (un segment) de R ou, plus généralement n'importe quelle partie fermée bornée de R.

  • Qu'est-ce qu'une partie compacte ?

    Une partie K de E est dite compacte si, de toute suite (un) d'éléments de K , on peut extraire une sous-suite convergente vers un élément de K .
    En particulier, toute réunion finie ou toute intersection quelconque de parties compactes est compacte.

  • On dit que (E,d) est un espace compact si et seulement si de tout recouvrement de E par des ouverts de E, on peut en extraire un sous-recouvrement fini.
    En d'autres termes, si E = ⋃i∈I Ui o`u les Ui sont des ouverts, il existe J fini, J ⊂ I tel que E = ⋃i∈J Ui.

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