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PDF Chapitre II Notion de structure de groupe

On dit que ( ) est un sous-groupe de si reste une loi avec les mêmes propriétés Exemples : ( ) est un groupe commutatif avec et (notation de l'inverse 

PDF Groupes

Voici des ensembles et des opérations bien connus qui ont une structure de groupe – (R∗×) est un groupe commutatif × est la multiplication habituelle

  • C'est quoi un groupe en maths ?

    Définition : Un groupe est un ensemble muni d'une loi de composition interne notée , ( ) , telle que : - la loi soit associative ( ) ( ), - la loi possède un élément neutre , - tout élément possède un symétrique (ou inverse) pour , noté , satisfaisant . - Si de plus, , on a alors est dit commutatif (ou abélien).

  • Est-ce que Z est un groupe ?

    L'ensemble des nombres entiers, muni de la multiplication (Z, ×), ne forme pas un groupe.
    La loi est bien interne, associative, et il existe un élément neutre (le nombre 1), mais pas d'inverse en général : par exemple, l'équation 3 · b = 1 n'admet pas de solution dans Z.

  • Comment montrer que Z +) est un groupe ?

    L'ensemble nZ est un sous-groupe de (Z,+), en effet : – nZ ⊂ Z, – l'élément neutre 0 appartient à nZ, – pour x = kn et y = k n des éléments de nZ alors x+ y = (k+ k )n est aussi un élément de nZ, – enfin si x = kn est un élément de nZ alors −x = (−k)n est aussi un élément de nZ.

  • Proposition (caractérisation des sous-groupes) : Une partie H de G est un sous-groupe de G si et seulement si :

    1H est non-vide;2H est stable par passage au produit : pour tous x,y∈H x , y ∈ H , alors x⋆y∈H x ⋆ y ∈ H ;3H est stable par passage à l'inverse : pour tout x∈H x ∈ H , alors x−1∈H x − 1 ∈ H .
En mathématiques, un groupe est une des structures algébriques fondamentales de l'algèbre générale. C'est un ensemble muni d'une loi de composition interne  Histoire · Concepts essentiels · Exemples et applicationsAutres questions
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