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Comment calculer les fractions rationnelles ?
On définit l'addition et la multiplication de fractions rationnelles de façon naturelle : PQ+RS=PS+RQQS, P Q + R S = P S + R Q Q S , PQ×RS=PRQS.
P Q × R S = P R Q S .
Muni de ces deux opérations, K(X) est un corps.
Le degré d'une fraction rationnelle PQ est par définition deg(P)−deg(Q) ⁡ ⁡ .
Comment diviser deux rationnels ?
La division de fractions rationnelles
1Factoriser les polynômes au numérateur et au dénominateur de chacune des fractions, si possible.
2) Poser toutes les restrictions (les dénominateurs et le numérateur du diviseur doivent être différents de 0).
3) Effectuer la division en la transformant en multiplication.
Comment décomposer une fraction rationnelle en élément simple ?
On peut décomposer toute fraction rationnelle en somme de fractions élémentaires plus simples, au sens où leurs dénominateurs ne feront apparaître qu'un seul polynôme irréductible chacune.
F = E + G et deg(G) < 0.
Le polynôme E est appelé la partie entière de F.
La fraction rationnelle donnée existe si x ≠ 0 ‍ et x ≠ − 5 ‍ .
La fraction simplifiée existe aux mêmes conditions.
On doit écrire la condition x ≠ 0 ‍ , mais il n'est pas nécessaire d'écrire la condition x ≠ − 5 ‍ car elle est "visible" puisque le dénominateur de la fraction simplifiée est ‍

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Fonction de deux variables

Le processus de simplification d’une fraction aboutit à une fraction équivalente à la fraction initiale dans le domaine de cette fraction initiale • Factorisation si possible du numérateur et du dénominateur • Simplification si possible des termes communs au numérateur et au dénominateur (Diviser le numérateur et le

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Cette substitution est bien licite car la fraction rationnelle b0+b1G+···+bqGq n’est pas la fraction rationnelle nulle Proposition 3 5 Soit G une fraction rationnelle non constante L’application F ? F(G) de K(X) dans lui-mˆeme est un homomorphisme de K-alg`ebres La substitution correspond a la composition des fonctions rationnelles

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PS= QR : une fraction rationnelle admet plusieurs repr esentants 2 la somme de deux fractions rationnelles : P Q + R S = PS+ QR PQ 3 Le produit de deux fractions rationnelles : P Q R S = PR QS 4 L’inverse d’une fraction rationnelle Si P6= 0 : (P Q) 1 = Q P 5 tout polyn^ome est une fraction : P= P 1 6 8 2K; : P Q = P Q

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Les fractions rationnelles

Pour déterminer les restrictions à donner à une fraction rationnelle il faut : - factoriser le dénominateur s’il y a lieu; - déterminer la valeur de la variable qui annule le polynôme dans chaque facteur; - éliminer cette (ces) valeur(s) Exemple : x2 + 6x + 8 x2 + 11x + 28 x2 + 11x + 28 ? 0 (x+ 4) (+ 7) ? 0 (x + 4) ? 0 donc x

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Par exemple, P(x;y) =x2y42x3y+3xy3+x2y+x1 est une fonction polynomiale de degré 6. - Les fractions rationnelles sont obtenues en faisant le quotient de deux fonctions polynomiales. Elles sont dé?nies pour tout couple de R2pour lequel le dénominateur ne s’annule pas. Par exemple, la fonctionf(x;y) = xy x y

Comment calculer la d'ecomposition d'une fraction rationnelle?

Rappelons le principe de la d´ecomposition d’une fraction rationnelle de la forme G(z) = N(z) D(z) , ou` Net Dsont des polynˆomes tels que le degr´e de Nsoit inf´erieur a celui de D. – A chaque facteur de la forme (az+b)ndans D(z) correspond une d´ecomposition de la forme : Xn m=1

Comment simplifier une fraction rationnelle ?

Fraction rationnelle est une expression de la forme P , où Pour simplifier une fraction : Domaine de la fraction dénominateur et Q sont des polynômes et Q?0 Factorisation, si possible, du numérateur et du dénominateur

Quel est le corps de fractions rationnelles ?

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