Fonctions homogènes, concaves et convexes - LaBRI

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Comment déterminer qu'une fonction est convexe ?
On démontre qu'une fonction est convexe sur un intervalle si et seulement si sa dérivée est croissante sur cet intervalle, autrement dit si sa dérivée seconde est positive sur cet intervalle.
Comment Etudier la convexité d'une courbe ?
Une fonction f est convexe si, pour tout couple de points A et B de la courbe de f, la sécante (AB) est au-dessus de la courbe de f.
Si, pour tout couple de points A et B de la courbe de f, la sécante (AB) est en dessous de la courbe de f, alors on dit que f est concave.
Comment savoir si la fonction est convexe ou concave ?
La fonction f est convexe sur I si sa dérivée f ' est croissante sur I, soit f ''(x) ≥ 0 pour tout x de I.
La fonction f est concave sur I si sa dérivée f ' est décroissante sur I, soit f ''(x) ≤ 0 pour tout x de I.
Soit la fonction f définie sur R par f (x) = 1 3 x3 −9x2 + 4.
Au début du 19e siècle, la convexité fait l'objet de travaux par Augustin Cauchy.
Plus tard, à l'aide de fonctions convexes, des mathématiciens démontrent un grand nombre d'inégalités de convexité.

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