Applications linéaires - Exo7 - Emathfr


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  • Comment déterminer le rang d'une application linéaire ?

    Théorème du rang : Si E et F sont deux espaces vectoriels de dimension finie, si f:E→F f : E → F est une application linéaire, alors : dim(E)=rg(f)+dim(ker(f))=dim(Im(f))+dim(ker(f)).

  • Comment savoir si une application est linéaire ?

    Définition.
    Une application linéaire de E dans F est une application f:E → F telle que pour tous vecteurs u, v ∈ E et tout scalaire λ ∈ K, • f(u + v) = f(u) + f(v), • f(λu) = λf(u).
    Si F = K on dit que f est une forme linéaire.

  • Le théorème du rang donne une relation entre la dimension du noyau et la dimension de l'image de f.
    Dans la pratique, cette formule sert à déterminer la dimension du noyau connaissant le rang, ou bien le rang connaissant la dimension du noyau.
    Maintenant, par le théorème du rang, dim Kerf = dimR4 − rg f = 4 − 2=2.

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