optimisation avec contrainte lagrangien

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Résumé doptimisation sous contraintes Méthode de Lagrange

ment à une fonction Tout comme pour l'optimisation libre la démarche pour optimiser locale- f(~x) de plusieurs variables sous contraintes ~ h(~x) = ~ 0 consiste chercher les points stationaires du problème sous contraintes étudier la nature de chaque point stationaire en étudiant le hesiene bien choisie \"signe\" d'une Cete contraintes hesiene ne f

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3 Optimisation sous contraintes mixtes

2 D e nir le Lagrangien du probl eme d’optimisation et d eterminer les points critiques du probl eme de Karush-Kuhn-Tucker associ e 3 Conclure Correction : 1 L’ensemble des contraintes est donn e par K = x2Rn;g 1(x) 0;:::;g n(x) 0;g n+1(x) = 0 avec g i(x) = x i i= 1;:::;net g n+1(x) = P n i=1 x i 1 En particulier on a les ensembles d

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Optimisation sous contraintes avec le lagrangien

Méthode d’optimisation sous contraintes Solution du problème contraint ) solution du lagrangien mais pas réciproquement Optimum contraint 6= optimum en général Recherche des points critiques analytiquement ou numériquement puis test de leur nature grâce à la Hessienne de L

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TD Optimisation sous contraintes

Le théorème nous dit que si un point ( x 0 y 0 ) est extremum de f sous contrainte g ( x y ) = c alors il est solution du système ( 1 ) Mais un qui solution du système ( 1 ) n’est pas un extremum de f Pour réussir à distinguer ce genre de cas on a besoin de vérifier une condition qui ressemble au discriminant D =

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Cours d’optimisation

Figure 5: Optimisation sous contrainte La methode de substitution consiste simplement a trouver les extremums de la fonction d'une variable : f(x) e = f(x; g(x)) Exemple: Optimiser sous les contraintes indiquees les fonctions suivantes : f(x; y) = x2 + y2 sous la contrainte : x + y = 1

PDF	La méthode du Lagrangien Jean-Jérôme Casanova Le but de ce document est de décrire la méthode du Lagrangien pour chercher et étudier les extremums d’une fonction sous contraintes Soit f g : R2 → R deux fonctions régulières On cherche les extremums de f(x y) sous la contrainte g(x y) = 0

Comment calculer le lagrangien ?
2. Le Lagrangien du probleme est L(x; y; ; ) = x + y + (2 xy) + (y + 2x + 5). Par le theoreme de Karush-Kuhn-Tucker (KKT), les extrema de f sous les contraintes g1(x; y) 0, g2(x; y) 0 satisfont le systeme On distingue alors les cas selon si les contraintes sont saturees ou non.
Comment calculer le lagrangien du problème d’optimisation ?
On cherche les extremums de f(x, y) sous la contrainte g(x, y) = 0. On considère la fonction L(x, y, λ) = f(x, y) − λg(x, y). Cette application est appelée le Lagrangien du problème d’optimisation et va nous per-mettre de trouver et d’étudier les extremum de f(x, y) sous la contrainte g(x, y) = 0. On procède comme suit: 1.
Quel est le but de la méthode du lagrangien ?
Le but de ce document est de décrire la méthode du Lagrangien pour chercher et étudier les extremums d’une fonction sous contraintes. Soit f, g : R2 → R deux fonctions régulières. On cherche les extremums de f(x, y) sous la contrainte g(x, y) = 0. On considère la fonction L(x, y, λ) = f(x, y) − λg(x, y).
Comment optimiser une fonction sous contraintes mixtes ?
3. Optimisation sous contraintes mixtes Exercice 1. On s'interesse aux extrema de la fonction f : (x; y) 7! x + y sous les contraintes : Etudier la condition de quali cation des contraintes. Trouver tous les extrema de f et donner leur nature.

Lagrange

ment à une fonction Tout comme pour l'optimisation libre, la démarche pour optimiser locale- f(~x) de plusieurs variables sous contraintes ~ h(~x) = ~ 0 consiste chercher les points stationaires du problème sous contraintes étudier la nature de chaque point stationaire en étudiant le hesiene bien choisie. "signe" d'une Cete contraintes hesiene ne f

T~xS.

On suposera théorème précédent toujours que done bien l'équation du s.e.v. ~ h est régulière. ufr-segmi.parisnanterre.fr

B(~x∗, r)

∩ S, on a f(~y) ≤ f(~x∗). Cela signie que les valeurs de ufr-segmi.parisnanterre.fr

Ω est

du Les points stationaires du problème sous contraintes tels notera qu'il ici existe Pour trouver les sont extrema ainsi d'une les points λ∗ ~ ∈ Rp pour lequel ufr-segmi.parisnanterre.fr

S(f~ h(~x) = ~ 0) leur

fonction sous contraintes, la première étape ensemble. (~x∗,~λ∗) est un point stationaire de ~x∗ ∈ Ω ufr-segmi.parisnanterre.fr

Question

? ~x∗ : est-il ou non un extremum local du problème sous contraintes On peut répondre dans les cas "favorables" grâce à l'étude d'une matrice hesiene bien choisie. On supose que f et ~ h sont ufr-segmi.parisnanterre.fr

• La

autres la matrice enne de cas, on discusion hesiene ne est peut similaire pas à conclure cele (à déjà ce stade). vue en optimisa- L en la variable à H considérer est maintenant ~x au point (~ x∗,~ λ∗). la matrice hesi- ufr-segmi.parisnanterre.fr

• La forme

quadratique dont on étudie le "signe" est la restriction de qH à l'espace tangent T~x∗S. ufr-segmi.parisnanterre.fr

analyse mathématique s1 (économie) : optimisation sous contrainte méthode de lagrange

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