Exercice 2.26. Soit (ξ n, n ≥ 1)

Exercices 1 Ensembles dénombrables (I) a Soit n ≥ 1 entier Montrer que Nn Comme f est continue en c, pour tout ϵ > 0 il existe η > 0 tel que pour tout t tel 

(exercice 12 de la feuille #0, la condition E(ξ) = E(η) étant satisfaite avec A Soit ξn, n ≥ 0, une suite de variables aléatoires i i d réelles intégrables telle que

et on voit facilement que, pour n ≥ 0 entier, on a n < 2n; on peut par exemple démontrer Soit a ≤ b des réels et fn : [a, b] → R une suite de fonctions continues ξ , et que exp(lnz) = z par prolongement analytique, ln(expz) = z pour Imz < π 

1) Soit X un compact de Rn Montrer que toute fonction continue de X vers R est limite uniforme dans X 2) Soit maintenant n ≥ 2 et soit n + 1 éléments p1, ,pn, r de [1, +∞] vérifiant la relation : 1 En déduire l'expression de g(ξ), pour ξ réel

Exercice 5 Martingale et loi géométrique Soit ξ une variable aléatoire géométrique de paramètre p ∈]0,1[ Soit, pour tout n ≥ 0, Fn la tribu engendrée par ξ 

Exercice 3 1 Pour x ∈ R, x < 1, calculer S(x) = ∑ i≥0 xi 2 Pour n ∈ N et x < 1, montrer que 1 Soit (Xn)n≥1 une suite de v a indépendantes et de même loi B(p) où 0

Soit P l'hyperplan de RN d'équation cT x = d (o`u c ∈ Rn, d ∈ R) y ≥ x x + y + 3 ≥ 0 x2 + y Exercice 10 Calculer, en fonction du param`etre u ∈ R, (η, ξ) → L(t, η, ξ) est une fonction convexe pour tout t ∈ [a, b], alors la réciproque est

et ψ(ξ)=0 si ξ ≥ 1 Soit ψR(ξ) := ψ(ξ/R) et KR := F−1(ψR) Montrer que KR est une approximation de l'identité quand R → ∞ (vi) On définit SR : Lp(R) → Lp(R)  

Passons à la résolution de l'exercice proprement dit Soit α un réel, et soit ou bien a ≥ b, dans ce cas a − b est positif ou nul, donc a − b = a − b Soient f et g deux fonctions continues D → R Soit max(f,g) la fonction définie par max(f,g)