optimisation convexe cours

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Pierre Weiss

Ce document présente les notions de base de l'optimisation convexe une branche des mathématiques qui étudie les problèmes d'optimisation où la fonction objectif et les contraintes sont convexes Il aborde les concepts de convexité de dualité de conditions d'optimalité de méthodes de résolution et d'applications à divers domaines

PDF	Cours Apprentissage Dans ce cours on se limitera principalement aux problemes d'optimisation non-contraints i e mi-nimiser f(x) pour x 2 Rd Les minimas locaux sont tels que f0(x) = 0 et sont globaux lorsque f est convexe outils generiques ou des algorithmes iteratifs simples

PDF	Chapitre 4: Optimisation convexe dont l’espace de solutions est On s’intéresse au cas où ⊆ R Et où est un ensemble convexe

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Convex Optimization

For many general purpose optimization methods the typical approach is to just try out the method on the problem to be solved The full beneﬁts of convex optimization in contrast only come when the problem is known ahead of time to be convex Of course many optimization problems are not convex and it can be

PDF	Optimisation convexe Optimisation convexe Ch Dossal Janvier 2017 Introduction Ce document est un support pour le cours d’optimisation Il n’a donc pas vocation a ^etre complet mais vient en appui aux s eances de cours L’objet de ce cours est de pr esenter des outils th eoriques d’optimisation con-

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Cours d’Optimisation

Cours d’Optimisation Matthieu Bonnivard (d’apr es le polycopi e d’Olivier Bokanowski) R ef erences bibliographiques : Philippe G Ciarlet Introduction a l’analyse num erique matricielle et a l’optimi-sation Jean-Baptiste Hiriart-Urruty Optimisation et analyse convexe (exercices cor-rig es)

Comment construire une suite qui converge vers un point Xe ?
Cependantil existe un moyen de construire une suite qui converge vers un point \fxe d'unop\u0013erateurTqui en poss\u0012ede au moins 1 et qui est 1-Lipschitz en utilisant unproc\u0013ed\u0013e de m\u0013elange. Il s'agit de lalgorithme de Krasnosel'skii-Mann que nouspr\u0013esentons maintenant.
Comment calculer la somme de fonctions convexes ?
aussi appele Lagrangien du probleme. On a v ! L(v; ; ) convexe, puisque J convexe, j j(v) est convexe. En n la somme de fonctions convexes est convexe. De plus, rvL(u; ; ) = rJ(u) + Pp i=1 ir'i(u) + Pq j=1 jr j(u) = 0 d'apres KKT. Ainsi, u est un minimiseur global de L sur R 0). Ainsi J(u) J(v) pour tout ! R.
Quels sont les problèmes d'optimisation convexe ?
Dans cette partie nous nous int\u0013eresserons \u0012a des probl\u0012emes d'optimisationconvexes dits non lisses c'est a \u0012dire que la fonctionFque nous voulonsminimiser est non di\u000B\u0013erentiable. Un cas particulier de non di\u000B\u0013erentiabilit\u0013equi attirera notre attention est ce lui de la somme de deux fonctions convexesdont l'une au moins est non di\u000B\u0013erentiable :
Quels sont les différents types de fonctions convexes ?
L (v; C'est une fonction strictement convexe de v ; en e et, J est strictement convexe et les contraintes etant a nes, le terme h n; Cv fi est egalement une fonction a ne de v et en particulier c'est une fonction convexe de v. De plus, xe, la fonction v 7!

un entier positif un problème

dont l’espace de solutions est On s’intéresse au cas où ⊆ R Et où est un ensemble convexe ablondin.uqam.ca

Ensemble convexe

Soit ⊆ R On dit que est convexe si pour tous , ∈ , le segment de droite ⊆ convexe non convexe ablondin.uqam.ca

équivalents:

est l’intersection de demi-espaces est un polyèdre convexe (possiblement non borné) ablondin.uqam.ca

Problème linéaire

Problème d’optimisation Dont les solutions réalisables forment un polyèdre convexe Et dont la fonction objectif est linéaire Aussi appelé programme linéaire ablondin.uqam.ca

Terminologie

Les contraintes décrites par Ax b sont appelées contraintes □ fonctionnelles Certaines des variables peuvent être non restreintes Un vecteur x qui satisfait toutes les contraintes est appelé vecteur réalisable ou solution réalisable La fonction ( x) = c x est appelée fonction objectif ou fonction de coût Une solution x∗ qui optimise la fonction obj

Diférents scénarios (1/2)

Considérons le programme linéaire suivant: minimiser sous les contraintes ablondin.uqam.ca

Théorème

Soit un problème de programmation linéaire. Alors exactement un des scénarios suivants survient: Il existe une unique solution optimale Il existe plusieurs solutions optimales. L’ensemble des solutions peut être borné ou non borné Le coût optimal est +∞ ou −∞, et aucune solution réalisable n’est optimale L’ensemble des solutions réalisables est vid

Étapes

Identifier d’abord les variables (inconnues) qui seront les variables de décision et les représenter par des symboles Identifier toutes les contraintes ou restrictions du problème et les exprimer comme des équations ou inéquations linéaires en fonction des variables de décision Identifier la fonction objectif et l’exprimer en fonction des variables

Équivalence

Deux programmes linéaires sont dits équivalents si une solution optimale de l’un permet de construire une solution de l’autre. ablondin.uqam.ca

Observations

Tout programme linéaire peut être transformé en forme compacte Tout programme linéaire peut être transformé en forme standard ablondin.uqam.ca

Intérêt

La forme compacte (≤) simplifie les démonstrations La forme standard (=) est plus utile pour des raisons de calculs (algorithme du simplexe) ablondin.uqam.ca

Exemple

Transformons le problème suivant sous forme minimiser sous les contraintes ablondin.uqam.ca

Proposition

Le problème minimiser sous les contraintes est équivalent au problème minimiser sous les contraintes ≥ ablondin.uqam.ca

Idée générale

On part avec une solution réalisable x On calcule diférentes statistiques On choisit la dimension la plus prometteuse On modifie la solution selon cette dimension On répète jusqu’à ce qu’on ne puisse rien améliorer ablondin.uqam.ca

Dificultés

Comment trouver une solution initiale? Comment choisir la dimension prometteuse? ablondin.uqam.ca

Étape 1

On initialise le tableau avec les valeurs du problème Colonne pivot: minimise Ligne pivot: minimise le ratio positif solution/colonne pivot ablondin.uqam.ca

Exercice

Appliquer la méthode du simplexe au programme suivant: minimiser s. c. ablondin.uqam.ca

non

A dans la base en mettant à jour Théorie de la dualité ablondin.uqam.ca

Idée générale

Problème primal : on optimise dans une direction En cherchant l’infimum d’un ensemble Problème dual : on optimise dans la direction contraire En cherchant le supremum de l’ensemble = { ∣ ≤ , pour tout ∈ } En particulier, on a la relation inf( ) = sup( ) c’est-à-dire que les solutions admissibles se rencontrent ablondin.uqam.ca

Motivation

Deux principales motivations: La résolution du problème dual est parfois plus facile que la résolution du problème primal Pour toute solution ∈ et pour toute solution ′ ∈ , le nombre () − ( ′) est un majorant de l’erreur () − inf( ) Il est donc possible d’estimer l’erreur en lorsqu’on doit résoudre des problèmes linéaires en nombres entiers, qui s

dual

associé est donné par maximiser sous les contraintes y b ablondin.uqam.ca

y A ≤ c

Remarques et conséquences Le problème dual n’est ni sous forme standard, ni sous forme compacte, mais il peut facilement être transformé Chaque contrainte fonctionnelle est « remplacée » par une variable dans le problème dual De la même façon, chaque variable introduit une contrainte correspondante dans le dual ablondin.uqam.ca

Théorème (dual d’un dual)

Soit un programme linéaire, ′ son problème dual associé et dual associé au problème ′. Alors et ′′ sont équivalents. ′′ le ablondin.uqam.ca

Théorème de dualité forte

Considérons la paire de problème primal-dual suivante: minimiser sous les contraintes c x Ax = b x ≥ 0 maximiser y b sous les contraintes y A ≤ c Si un des deux problèmes admet une solution optimale, alors l’autre problème aussi admet une solution optimale et leurs valeurs optimales respectives coïncident. Logiciels ablondin.uqam.ca

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