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Chapitre 3 Espaces vectoriels

muni de son addition et de son produit externe est un espace vectoriel sur K Exercice 16– Montrer que C est un espace vectoriel sur Q mais aussi sur R ou C Montrer que R est un espace vectoriel sur R mais aussi sur Q Comprendre en revanche pourquoi R n’est pas un espace vectoriel sur C 1 4)Règles de calculs dans les espaces vectoriels

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Chapitre III Espaces vectoriels

( ) s’appelle le sous-espace vectoriel de engendré par Proposition : a) ( ) est un sous-espace vectoriel de b) C’est le plus petit sous-espace vectoriel de qui contienne c’est-à-dire que si est un sev de tel que alors ( ) Démonstration : A faire en exercice Exemples importants : -Soit un espace vectoriel

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Soit Eun espace vectoriel Montrer que f∈L(E) est une homothétie si et seulement si pour tout x∈Ela famille (xf(x)) est liée Exercice 31[Composée de projecteurs] Soient pqdeux projecteurs d'un espace vectoriel E Montrer que : 1 Imp= Imq⇔(p q= qet q p= p); 2 Kerp= Kerq⇔(p q= pet q p= q) Exercice 32[Somme de projecteurs]

Quelle est la différence entre un espace vectoriel et un sous-ensemble ?
Définition Soit E un espace vectoriel et F un sous-ensemble de E (F ⊂ E ). F est un sous-espace vectoriel de E si F est lui-même un espace vectoriel pour les lois d’addition et de multiplication par un scalaire définies sur E. Cette définition sous-entend que tout sous-espace vectoriel est lui-même un espace vectoriel.
Quels sont les critères d'identification des sous-espaces vectoriels ?
F est un sous-espace vectoriel de E si F est lui-même un espace vectoriel pour les lois d’addition et de multiplication par un scalaire définies sur E. Cette définition sous-entend que tout sous-espace vectoriel est lui-même un espace vectoriel. Il en découle les critères d’identification des sous-espaces vectoriels suivants.
Comment savoir si un ensemble est un espace vectoriel ?
Il est assez long de vérifier qu’un ensemble est un espace vectoriel. En pratique, on dispose d’une liste d’espaces vectoriels de référence (pour le moment notre liste est formée des espaces Kn et des espaces de matrices) et on obtient de nouveaux espaces vectoriels en considérant les sous-espaces vectoriels de ces espaces.
Comment calculer l’espace vectoriel ?
1. L’espace vectoriel R[X des polynômes P (X ) = anXn a0. polynômes P X Q X , la multiplication par un scalaire 2 R est P X . L’élément neutre est le polynôme nul. L’opposé de P X est P X . 2. L’ensemble des fonctions continues de R dans R ; l’ensemble des fonctions dérivables de R dans R,... 3. C est un R-espace vectoriel : addition z z0

1. Espace vectoriel (début)

Dans ce chapitre, K désigne un corps. Dans la plupart des exemples, ce sera le corps des réels R. exo7.emath.fr

1.1. Définition d’un espace vectoriel

Un espace vectoriel est un ensemble formé de vecteurs, de sorte que l’on puisse additionner (et soustraire) deux vecteurs u, v pour en former un troisième u v (ou u v) et aussi afin que l’on puisse multiplier chaque vecteur u d’un facteur pour obtenir un vecteur u. Voici la définition formelle : exo7.emath.fr

Définition 1.

Un K-espace vectoriel est un ensemble non vide E muni : • d’une loi de composition interne, c’est-à-dire d’une application de E exo7.emath.fr

2 K, u 2 E)

Nous reviendrons en détail sur chacune de ces propriétés juste après des exemples. exo7.emath.fr

2.1. Détail des axiomes de la définition

Revenons en détail sur la définition d’un espace vectoriel. Soit donc E un K-espace vectoriel. Les éléments de E seront appelés des vecteurs. Les éléments de K seront appelés des scalaires. exo7.emath.fr

Loi interne.

La loi de composition interne dans E, c’est une application de E dans E : E E u, v 7 u v ( ) + C’est-à-dire qu’à partir de deux vecteurs u et v de E, on nous en fournit un troisième, qui sera noté u v. + La loi de composition interne dans E et la somme dans K seront toutes les deux notées , mais le contexte permettra + de déterminer aisément de

Loi externe.

La loi de composition externe, c’est une application de K dans E : E exo7.emath.fr

u u u.

( + ) = + La loi interne et la loi externe doivent donc satisfaire ces huit axiomes pour que E, , soit un espace vectoriel sur K. ( + ) exo7.emath.fr

(b) f x g x h x g x h

( ) = ( ) + ( ) = ( ) x . Par somme et différence de (a) et (b), on tire que ( ) exo7.emath.fr

6.1. Définition

Nous avons déjà rencontré la notion d’application linéaire dans le cas f : Rp Rn (voir le chapitre « L’espace vectoriel Rn »). Cette notion se généralise à des espaces vectoriels quelconques. exo7.emath.fr

Vocabulaire.

Soient E et F deux K-espaces vectoriels. Une application linéaire de E dans F est aussi appelée morphisme ou homomorphisme d’espaces vectoriels. L’ensemble des applications linéaires de E dans F est noté L E, F ( ) . Une application linéaire de E dans E est appelée endomorphisme de E. L’ensemble des endomorphismes de E est noté L E . ( ) exo7.emath.fr

7.1. Exemples géométriques

sont linéaires. Caractériser géométriquement ces applications exo7.emath.fr

Symétrie centrale.

Soient E un K-espace vectoriel. On définit l’application f par : exo7.emath.fr

X P X .

( ) Étudions d’abord le noyau de f : soit P X ( ) = exo7.emath.fr

8.3. L’espace vectoriel L (E, F )

Soient E et F deux K-espaces vectoriels. Remarquons tout d’abord que, similairement à l’exemple 4, l’ensemble des applications de E dans F, noté F E, F ( ) , peut être muni d’une loi de composition interne et d’une loi de composition + externe, définies de la façon suivante : f, g étant deux éléments de F E, F ( ) , et étant un élément de K, pour t

L’ensemble des applications linéaires entre deux K-espaces vectoriels E et F, noté L E, F

( ) , muni des deux lois définies précédemment, est un K-espace vectoriel. exo7.emath.fr

Démonstration. L’ensemble L E, F

( ) est inclus dans le K-espace vectoriel F E, F ( ) . Pour montrer que L E, F ( ) est un K-espace vectoriel, il suffit donc de montrer que L E, F ( ) est un sous-espace vectoriel de F E, F ( ) : Tout d’abord, l’application nulle appartient à Soient f, g 2 L E, F , et montrons que u et v de E et pour tous scalaires , ( ) E, F . ( ) g est linéaire

8.4. Composition et inverse d’applications linéaires

Proposition 11 (Composée de deux applications linéaires). Soient E, F, G trois K-espaces vectoriels, f une application linéaire de E dans F et g une application linéaire de F dans G. Alors g f est une application linéaire de E dans G. Remarque. En particulier, le composé de deux endomorphismes de E est un endomorphisme de E. Autrement dit, est une

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