z est un imaginaire pur si et seulement si z est reel

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Chapitre 4 : Les nombres complexes

- Un nombre complexe est un imaginaire pur si et seulement si =− ̅ Démonstration : Soit et deux réels tels que = +???? est réel si et seulement si )et seulement si ???? ( =0 ????−????̅ 2 =0 = ̅ est un imaginaire pur si et seulement si ????????( )=0 ????+????̅ 2 =− ̅

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Chapitre 6 : les nombres complexes

Par exemple montrer que pour tout z ∈C\\{1}tel que Re(z) =−1 alors 2iz+2i+1 1+z est imaginaire pur et 2z+i+1 1+z est réel On remarque quez̸=−1 donc que ces expressions sont bien définies De plus 2z+i+2 1+z est imaginaire pur si et seulement si 2z+i+2 1+z − 2z+i+2 1+z =0⇔ 2z+i+2 1 +z − 2¯z−i+2 1+z¯ = 0⇔ (2z+i+2)(1+¯z

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Nombres complexes

Proposition 2 Pour tout nombre complexe z on a z +z = 2Re (z) et z −z = 2iIm (z) Par conséquent z est un nombre réel si et seulement si z = z et z est imaginaire pur si et seulement si z = −z Démonstration Comme z = a + ib et z = a −ib on a bien z + z = 2a = 2Re (z) et z −z = 2ib = 2iIm (z) Proposition 3

C'est quoi un nombre imaginaire pur ?
Un nombre imaginaire pur est un nombre complexe qui s'écrit sous la forme ia avec a réel, i étant l' unité imaginaire. Par exemple, i et −3i sont des imaginaires purs. Ce sont les nombres complexes dont la partie réelle est nulle. L'ensemble des imaginaires purs est donc égal à i ℝ (aussi noté iR ).
Quels sont les imaginaires purs ?
Par exemple, i et −3i sont des imaginaires purs. Ce sont les nombres complexes dont la partie réelle est nulle. L'ensemble des imaginaires purs est donc égal à i ℝ (aussi noté iR ). Le carré d'un nombre imaginaire pur est un nombre réel négatif ou nul, et les racines carrées d'un nombre réel négatif sont des imaginaires purs.
Comment calculer l'unité d'un imaginaire pur ?
Le premier axe, horizontal, représente l'axe gradué des réels, et le second axe, vertical, est l'axe des imaginaires purs. Sur ce deuxième axe, l'unité est i . Un imaginaire pur z correspond alors à un point M de l'axe des imaginaires purs. Plus généralement, le nombre complexe z = a + ib est l'affixe du point M de coordonnées (a,b).
Quelle est la différence entre un nombre réel pur et un nombre imaginaire pur ?
Les coordonnées du point A décrivent un nombre réel pur, celles du point B décrivent un nombre imaginaire pur, et celles du point C décrivent un nombre complexe. Un nombre imaginaire pur est un nombre complexe qui s'écrit sous la forme ia avec a réel, i étant l' unité imaginaire. Par exemple, i et −3i sont des imaginaires purs.

Opérations Sur Les Nombres Complexes

Tous les règles de calcul dans ℝ addition , multiplication s’applique aussi dans ℂ sans oublier i² = – 1 Par conséquent ℂ constitue une extension algébrique de ℝ. Soit deux nombres complexes z = x+ i y et z’ = x ‘+ i y‘ où x et y sont deux nombres réels et knombre réel La somme de z et z’ est : z+z ‘= (x+x ‘ )+i(y+y‘). Le produit de z et z’ est déf

conjugué d’un Nombre Complexe

Définition Soit z = x+ i y un nombre complexe où x et ysont deux nombres réels Le nombre complexe x- i y s’appelle le conjugué de z on le note : z ̅ z ̅=x- i y Le conjugué de z ̅ est :z ̿ =z zz ̅=x² +y² z+ z ̅=2Re(z) z – z ̅=2i Im(z) z est un nombre réel si et seulement si z=z ̅ z est un imaginaire pur si et seulement si z ̅=−z coursuniversel.com

Opérations Sur Le conjugué Des Nombres Complexes

Soit z et z’deux nombres complexes, alors (z+z’) ̅=z ̅+z ̅’ (z×z’) ̅=z ̅×z ̅’ z≠0 Voici quelques exercices : et coursuniversel.com

Représentation géométrique d’un Nombre Complexe

Le planP muni d’un repère orthonormé direct ( O , u ⃗ , v ⃗ ) x et ydeux nombres réels A tout nombre complexe z = x + i y , on associe le point M de coordonnées (x ; y) dans le repère orthonormé direct ( O ,u ⃗ , v ⃗ ) On dit que : 1. le point M est l’image du nombre complexez. on l’écrit M(z) 2. (OM) ⃗ est le vecteur image du nombre complexe z on

Module d’un Nombre Complexe

Définition Soit ???? = x+ i y un nombre complexe non nul, x et ysont deux nombres réels Le module de ???? noté ????, est la longueur OM C’est-à-Dire: Théorème soit les points A et B ont pour affixes????A et????Balors A(????A ) a pour coordonnée A (????A ; yA) B(????B ) a pour coordonnée B (????B ; yB) Exemple : Soit A d’affixe zA = -3 + 2i et B d’affixe zB = 3 + 4

Argument d’un Nombre Complexe

Soit ????un nombre complexe non nul et M son image sur le plan complexe d’un repère orthonormé direct ( O , u ⃗ , v ⃗ ) On appelle l’argument de zest une des mesures, de l’angle orienté On le noté ???????????? (????) exprimée en radian, on l’écrit: ???????????? (????) ≡ ( u ⃗, (OM) ⃗ ) [2π] ≡ ???? [2π]= ????+2kπ k∈ℤ Théorème Soit un nombre complexe non nul ???????????? (-z )

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Comment montrer que z est un imaginaire pur ?
- Si a = 0 alors z est un nombre imaginaire pur. Calculer et exprimer le résultat sous la forme algébrique. Propriétés : a) Deux nombres complexes sont égaux, si et seulement si, ils ont la même partie réelle et la même partie imaginaire.
Quand z est imaginaire pur ?
- l'argument d'un réel non nul est de la forme k où k est un entier relatif. - l'argument d'un imaginaire pur est de la forme k /2 où k est un entier relatif.

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Comment savoir si z est un imaginaire pur ?

- l'argument d'un réel non nul est de la forme k où k est un entier relatif. - l'argument d'un imaginaire pur est de la forme k /2 où k est un entier relatif.

Quel est l'argument d'un imaginaire pur ?

Disons qu'en général, 0 est considéré et comme un réel, et comme un imaginaire pur.
. S'il y a un doute, généralement on précise ("imaginaire pur non nul", "réel non nul").

Est-ce que 0 est un nombre imaginaire pur ?

En fait, quand on te dit qu'il te faut chercher la solution sous la forme d'un imaginaire pur, c'est que ton inconnu (le z=x+iy) va avoir une partie réelle (le x) nul.
. Tu peux donc réécrire l'équation en rempla?nt z par iy, ou ib comme suggéré par l'énoncé.

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