calcul limite fonction 2 variables

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D´eveloppements limit´es d’une fonction `a deux variables

Le d´eveloppement limit´e d’ordre 2 d’une fonction `a deux variables au voisinage du point (ab) s’´ecrit : f(xy) = f(ab)+Df(ab)(x−ay −b)+ 1 2 h D2f (ab) (x−ay −b)(x−ay −b) i {z } M +Rn Ou` R est le reste qui vaut Rn = O (x−a)2 +(y −b)2 On peut ´egalement re´ecrire la quantit´e M : M = (x−a)2 ∂2f

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Fonctions de deux variables

Comme les fonctions d’une variable celles de deux variables s’ ́ecrivent avec ”7→” En voici une : d := (x y) 7→ x − y Je l’appelle d parce que d(x y) est la distance entre x et y En voici une autre : p := (R R0) 7→RR0 R+R0 C’est la fonction qui donne la r ́esistance d’un montage en parall`ele de deux r

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FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES

En première année vous avez étudié les fonctions d’une variable : par exemple si t 7→ f (t ) représente l’évolution d’une population en fonction du temps vous savez déterminer ses caractéristiques (croissance maximum limite ) Mais de nombreux phénomènes dépendent de plusieurs paramètres : par exemple le volume d’un Terre dépend fonctions d

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Fonctions de plusieurs variables

¥ f n’a de limite réelle en (0;0) 2 Pour x 6=0 f(x;0) = x 0 x 2+02 = 0 puis lim (x;y)!(0;0) y=0 f(x;y) = 0 Mais aussi pour x 6=0 f(x;x) = x x x +x2 = 1 2 puis lim (x;y)!(0;0) x=y f(x;y) = 1 2 Donc si f a une limite réelle cette limite doit être égale à 0 et à 1 2 ce qui est impossible f n’a pas de limite réelle en (0;0)

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Limites 1

On constate que plus la variable x prend des valeurs près de 2 (tout en demeurant inférieures à 2) plus les images de la fonction ƒ s’approchent de la valeur 11 Nous dirons que lorsque la valeur de la variable x s’approche de 2 par la gauche la fonction présente des images de plus en plus près de la valeur 11

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Limites et continuité pour une fonction de plusieurs variables

Limites et continuité pour une fonction de plusieurs variables Vous devez repeindre les murs d’une pièce rectangulaire Vous commencez par mesurer les longueurs des côtés de la pièce et obtenez environ 3m et 4m La hauteur des murs est de 3m environ

Comment calculer la valeur limite d’une fonction ?
ƒ(1) n’existe pas ( / ) mais lim ƒ(x) = ∃ . On aura souvent l’occasion de constater que lorsque la variable x prend des valeurs près de a, la fonction s’approche de ƒ(a) l’image de a. Il sera toujours tentant lorsque l’image de la fonction existe en a de considérer l’image ƒ(a) comme valeur limite.
Comment calculer une fonction de deux variables ?
Comprenons donc d’abord le théorème sur un exemple. Il s’agit de remplacer l’étude d’une fonction de deux variables par une fonction d’une seule variable. Partons de la fonction de deux variables F : R2 → R définie par F (x, y − x2 y2 1.
Qu'est-ce que les fonctions de plusieurs variables ?
On a aussi besoin de mod ́eliser de l’information d ́ependant de plusieurs param`etres, et c’est ce que font les fonctions de plusieurs variables. Ce qu’on sait faire pour les fonctions d’une variable s’ ́etend dans une certaine mesure aux fonctions de plusieurs variables comme on va le voir.
Comment calculer les variables ?
2. n 2. f : E ⊂ R2 → R. On préfère noter les variables par = ( x, y (au lieu de ) ( x1, x2)). Ces fonctions x, y seront notre principal sujet d’étude et sont représentées par des surfaces. À gauche, le ( ) 7→ f x, y ( ) graphe de la fonction x, y 7→sin ( ) y e−x2. À droite, le graphe de la fonction x, y 7→sin x y .

1. Introduction

En première année, vous avez étudié les fonctions d’une variable : par exemple, si t 7→ f (t ) représente l’évolution d’une population en fonction du temps, vous savez déterminer ses caractéristiques (croissance, maximum, limite

2.3. Exemples de surfaces quadratiques

Ce sont des exemples à connaître, car ils seront fondamentaux pour la suite du cours. exo7.emath.fr

Auteurs du chapitre

Arnaud Bodin. D’après des cours de Abdellah Hanani (Lille), Goulwen Fichou et Stéphane Leborgne (Rennes), Laurent Pujo-Menjouet (Lyon). Relu par Anne Bauval, Vianney Combet et Barbara Tumpach. Chapitre exo7.emath.fr

Calcul différentiel 2

Pour une fonction de plusieurs variables, il y a une dérivée pour chacune des variables, qu’on appelle dérivée partielle. L’ensemble des dérivées partielles permet de reconstituer une approximation linéaire de la fonction : c’est la différentielle. exo7.emath.fr

1.2. Exemples

Méthode. Pour calculer une dérivée partielle par rapport à une variable, on n’utilise que rarement la définition avec les limites, car il sufit de dériver par rapport à cette variable en considérant les autres variables comme des constantes. exo7.emath.fr

3.3. Contre-exemples

Dans cette partie, on justifie que les énoncés précédents ne peuvent pas être améliorés. Cette section peut être passée en première lecture. Si f est différentiable, alors f est continue. La réciproque est fausse, comme le prouve l’exemple suivant. exo7.emath.fr

+ c (z z0) − = 0.

De même qu’il existe une droite tangente à une ligne de niveau, il existe un plan tangent à une surface de niveau. exo7.emath.fr

1. Motivation – Cas d’une variable

Comment trouver le maximum (ou le minimum) d’une fonction f : Rn → R? Ce chapitre est consacré à l’étude de l’existence des extremums. Nous apprendrons à repérer les extremums locaux (qui ne sont pas nécessairement des minimums ou maximums globaux). On terminera ce chapitre par l’étude des « extremums liés », où la recherche est limitée par une con

Limites des fonctions à deux variables (Ex2 Série II de TD danalyse 5 SMA S3)

Méthode de calcul dune limite dune fonction de 2 variables

Fonctions de deux variables partie 1: Limites Continuité et différentiabilité.

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Comment calculer la limite d'une fonction à deux variables ?

L'astuce consiste souvent à trouver deux ensembles A = {(x,h(x))} et B = {(x,k(x))} (h et k fonctions à trouver) tels que lim₍_x_,_y₎_€_A_--_>₍₀_,₀₎ f(x,y) est différent de lim₍_x_,_y₎_€_B_--_>₍₀_,₀₎ f(x,y).
. Par exemple, sauf erreur: f(x,y) = xy² / (x² + y⁴), f(0,0) = 0.

Comment on calcule la limite d'une fonction ?

La représentation d'une fonction f de deux variables est la surface constituée de l'ensemble des points M de l'espace de coordonnées ( x ; y ; z ) avec z = f ( x ; y ). La surface (S) a alors pour équation : z = f (x ; y ).

Comment faire une fonction à deux variables ?

On rappelle que pour étudier la continuité d'une fonction f sur un point il faut : — vérifier si la limite de f au point x0 existe et, si elle existe, la calculer ; — vérifier si la valeur de la limite est égal à f(x0).

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