fonction de plusieurs variables cours mp

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FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES

L2 MIEE 2014-2015VARUniversit e de Rennes 1 1 Introduction Le cours porte sur les fonctions de plusieurs variables Le terme n’est pas tr es pr ecis Prenons quelques exemples En physique : le temps la distance la charge En economie : le prix en fonction du capital et du travail On peut imaginer des fonctions dont les variables

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Fonctions de plusieurs variables

Le programme oﬃciel de maths spé est ambitieux sur le sujet des fonctions de plusieurs variables mais dans la pratique des problèmes de concours la plupart du temps seuls les cas n=2et p=1ou n=2et p=2apparaissent eﬀectivement Il s’agit donc au sortir de ce chapitre de maîtriser au moins les fonctions de deux variables

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Math´ematiques

On appelle fonction r´eelle de plusieurs variables r´eelles toute fonction f de Rn dans R d´eﬁnie par f : Rn → R (x 1··· x n) 7→f(x 1··· x n) Exemple : 1 f : R2 → R (xy) 7→3x+2y 2 f : R2 → R (xy) 7→xy 3 f : R3 → R (xyz) 7→sin(xyz) Les graphes de ces fonctions sont plus diﬃciles a repr´esenter

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MP Fonctions de plusieurs variables

MP Fonctions de plusieurs variables Exercice 1: 1 Montrer que l’application Φ : U =]0;π/2[×]0;+∞[→ (IR∗ +) 2 déﬁnie par Φ(θρ) = (ρcosθρsinθ) est un C1-difféomorphisme 2 En déduire que l’application f → Φf est une bijection de C1((IR∗ +) 2;IR) sur C1(U;IR) 3 Montrer que f ∈ C1((IR∗ +) 2;IR) est solution

Quelle est la fonction d’une variable?
Cependant, pour mod\u0013eliser de nombreux ph\u0013enom\u0012enes, les fonctions d’une variable ne su\u000Esent pas; on a souvent besoin de fonctions de plusieurs variables. Un exemple. Pour un \u0013echantillon d’une mole de gaz de Van der Waals, la pression P du gaz est une fonction de deux variables : sa temp\u0013erature T, et le volume V occup\u0013e par cet \u0013echantillon.
Quels sont les problèmes concernant les fonctions de plusieurs variables?
Beaucoup de probl\u0012emes concernant les fonctions de plusieurs variables peuvent se ramener a des probl\u0012emes concernant les fonctions d’une seule variable. Pour cela, on utilise les fonctions partielles, qui sont obtenues en \fxant la valeur de l’une des variables.
Comment calculer les variables ?
2. n 2. f : E ⊂ R2 → R. On préfère noter les variables par = ( x, y (au lieu de ) ( x1, x2)). Ces fonctions x, y seront notre principal sujet d’étude et sont représentées par des surfaces. À gauche, le ( ) 7→ f x, y ( ) graphe de la fonction x, y 7→sin ( ) y e−x2. À droite, le graphe de la fonction x, y 7→sin x y .
Comment calculer les fonctions de plusieurs variables?
1 Fonctions de plusieurs variables Ce chapitre est conscr´e aux fonctions de plusieurs variables, c’est-`a-dire d´eﬁnies sur une partie de Rn, qu’on appellera son domaine de d´eﬁnition. On se limitera essentiellement aux fonctions de 2 ou 3 variables. Exemple 1. Soit f 1d´eﬁnie sur R2par f 1(x,y) = (x+y)/(x−y).

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Comment Etudier une fonction à plusieurs variables ?
Ainsi, pour une fonction de deux variables (x, y) ?? f(x, y) : — le graphe de f est un sous-ensemble de l'espace R3 muni des coordonnées (x, y, z); — l'ensemble de définition de f est un sous-ensemble du plan horizontal muni des coor- données (x, y); — le dessin des lignes de niveau de f se situe lui-aussi dans le plan
Comment étudier une fonction à deux variables ?
Une fonction à 2 variables est un objet qui à tout couple de nombres réels (x, y) associe au plus un nombre réel. Si f est une telle fonction, on note f : R × R ? R. Si f associe un nombre à (x, y), on note f(x, y) ce nombre. On dit qu'on peut évaluer f en (x, y) et f(x, y) est la valeur de f en (x, y).
La différentielle au point (x, y) d'une application à deux variables f est l'expression dfx,y = ?f ?x (x, y)dx + ?f ?y (x, y)dy. Les dx, dy et df de l'expression ci-dessous représentent de « petits accroissements » de la fonction et de chacune des variables respectivement.

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Comment Etudier une fonction à plusieurs variables ?

Ainsi, pour une fonction de deux variables (x, y) ?? f(x, y) : — le graphe de f est un sous-ensemble de l'espace R3 muni des coordonnées (x, y, z); — l'ensemble de définition de f est un sous-ensemble du plan horizontal muni des coor- données (x, y); — le dessin des lignes de niveau de f se situe lui-aussi dans le plan

Comment déterminer le domaine de définition d'une fonction à plusieurs variables ?

Si f est une fonction (à 2 ou 3 variables), l'ensemble des valeurs en lesquelles on peut évaluer f est le domaine de définition de f .
. On note D(f ). f : R×R ? R (x,y) ? 1 x ? y .
. D(f ) = {(x,y) ? R×R: x = y}.

Comment montrer qu'une fonction à plusieurs variables est continue ?

Soit a ? D. (i) On dit que f est continue en a si f(x) tend vers f(a) quand x tend vers a. (ii) On dit que f est continue sur D si elle est continue en tout point de D.

Comment montrer qu'une fonction à plusieurs variables est de classe C1 ?

f est de classe C1 sur U si et seulement si f est différentiable sur U et si l'application x?dfx x ? d f x est continue.
. Plus généralement, on dit que f est de classe Ck sur U lorsque toutes les dérivées partielles de f jusqu'à l'ordre k existent et sont continues sur U.
. U .

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