cercle de mohr contraintes principales

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Cercle de Mohr2

Un cercle de Mohr est un diagramme circulaire aidant dans la recherche des contraintes principales Il permet de visualiser les relations existantes entre les contraintes et permet de connaître simplement les contraintes dans toutes les directions en 2D en connaissant le tenseur des contraintes en un point M

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Contraintes principales -Cercles de Mohr

1) Contraintes principales – Directions principales Soit un milieu continu Ω soumis sur sa surface extérieure à un ensemble de forces ponctuelles linéiques ou surfaciques et dans son intérieur à des forces volumiques qui le mettent dans un équilibre bien défini ce qui signifie d’une part que le torseur associé à ces forces

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FICHE DE TRAVAUX DIRIGES N°2 CERCLE DE MOHR

Il vous est demandé de : 1 Tracer les 2 cercles de Mohr correspondant à l'état initial et à l'état de rupture 2 Déterminer les contraintes principales 3 Déterminer le Pôle P 4 Trouver l'orientation des contraintes principales majeur et mineur par rapport à l'horizontale σ f σv σh τ f Conditions in-situ (Etat initial) Essai

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Mécanique des sols I

Chapitre IV Résistance au cisaillement des sols Objectifs de ce chapitre Représenter les états de contraintes dans les sols Étudier la résistance au cisaillement des sols à partir d'essais en laboratoire Évaluer le comportement des sols à court et long terme Chapitre IV Résistance au cisaillement des sols Notions élémentaires sur la rupture des sol

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Séance 6 : Contraintes

B Directions principales invariants C Cercle de Mohr 1 Principe 2 Contrainte de cisaillement maximal 3 Description du grand cercle de Mohr D Etats de contrainte particuliers 1 Traction ou compression hydrostatique 2 Traction ou compression simple dans une direction 3 Cisaillement simple 4 Etat de contrainte triaxiale de révolution 5

Qu'est-ce que le cercle de Mohr?
Un cercle de Mohr est un diagramme circulaire aidant dans la recherche des contraintes principales. Il permet de visualiser les relations existantes entre les contraintes et permet de connaître simplement les contraintes dans toutes les directions en 2D en connaissant le tenseur des contraintes en un point M.
Quels sont les conséquences du cercle de Mohr-Coulombet ?
Cercle deMohr-Coulombetconséquences Mesure aulaboratoire descaractéristiques de Remarques qualitatives tassements admissibles contraintes appliquées inférieures à larupture 1. Rupture des 2. Rappels 3. de 4. Mesure au 5. petitesdéformations loi decomportement rupture glissement desparticules desollesunes parrapportauxautres
Quelle est la moitié supérieure du plan de Mohr ?
Pour des raisons de symétrie, on a souvent coutume de ne représenter que la moitié supérieure du plan de Mohr : , l’extrémité du vecteur contrainte dans le plan de Mohr parcours le cercle .
Quelle est la différence entre le plan réel et le plan de Mohr ?
Lorsque l’on atteint dans le plan réel, on aligne de nouveau la normale à la facette sur une direction principale, mais il s’agit maintenant de . Le vecteur est donc à nouveau colinéaire à , mais pointe dans la direction opposée. Dans le plan de Mohr, on a tourné de et on a de nouveau le point situé sur l’axe des abscisses.

Résistance au cisaillement des sols

Augmentation des contraintes jusqu'à la rupture

glissement des particules de sol les unes par rapport aux autres mouvement relatif des grains sur des surfaces de glissement ≠ rupture des grains moodle.insa-toulouse.fr

Sol → matériau continu

particules petites sols cohérents et saturés hypothèse de moins en moins valable pour les milieux granulaires mouvement relatif des grains (discontinuité de déplacement) Rupture des sols contraintes Rappels Cercle de Mohr Mesure au laboratoire Remarques qualitatives moodle.insa-toulouse.fr

x σ y σ 2θ a Méthode 2

diagonaliser la matrice ( ⎛ σ Σ ) =⎜ x ⎜τ ⎝ xy • valeurs propres moodle.insa-toulouse.fr

3.5 Théorème des états correspondants

Rupture des sols contraintes Rappels Cercle de Mohr Mesure au laboratoire Remarques qualitatives moodle.insa-toulouse.fr

3.1 Notion de courbe intrinsèque

À partir du cercle de Mohr, on peut exprimer les contraintes dans un sol sur n'importe quelle facette Une utilisation possible - étude de la stabilité et de la résistance d'un sol courbe intrinsèque : limite d'écoulement des sols séparation de la zone des états de contraintes possibles de la zone impossible à développer dans le sol pcq l'écoulement

Courbe intrinsèque

Détermination expérimentale Cercle tangent à la courbe intrinsèque écoulement par glissement suivant la direction qui correspond au point de contact entre le cercle et la courbe moodle.insa-toulouse.fr

3.2 Critère de Coulomb

Expérimentalement, il a été montré que la courbe intrinsèque d'un sol : • deux demi-droites symétriques par rapport à oσ droites de Coulomb angle de frottement interne (φ) sols pulvérulents : les droites passent par l'origine sols cohérents : existence d'une résistance au cisaillement sous contrainte normale nulle cohésion (c) τ τ′ =σ′ tan φ′ τ τ′

Angle de talus naturel

talus de sable sec formant un angle α à la profondeur h, sur une facette parallèle au talus équilibre limite (limite de rupture ou de glissement) moodle.insa-toulouse.fr

tan φ′

α ≤ φ′ φ' est donc l'angle de talus naturel pente limite que prend un tas de sable avec le temps frottement interne assimilé au frottement entre deux solides moodle.insa-toulouse.fr

tan φ′

état du sol vis-à-vis de la rupture identique dans les deux cas moodle.insa-toulouse.fr

Théorème des états correspondants

• appliquer une translation c'/tan φ' sur un cercle de Mohr quelconque revient à appliquer une contrainte normale supplémentaire d'intensité c'/tan φ' sur chaque facette de chaque point un milieu cohérent peut être transformé en milieu pulvérulent de même angle de frottement interne, en appliquant autour du massif une pression hydrostatique d'inten

Essai simple et ancien Procédure

cisaillement direct rectiligne sur un plan imposé éprouvette de sol entre 2 demi-boîtes effort normal déplacement horizontal à vitesse constante d'une des boîtes force de cisaillement mesurée par un anneau dynanométrique mesure de la variation Avantages et inconvénients de l'essai de cisaillement direct moodle.insa-toulouse.fr

Inconvénients

• pas de maîtrise des conditions de drainage sols pulvérulents drainage rapide contraintes appliquées → contraintes effectives sols fins cisaillement rapide → contraintes totales et comportement à court terme cisaillement lent (μm/min) → contraintes effectives et comportement à long terme concentration de contraintes aux extrémités de la boîte rota

Éprouvette

éprouvette cylindrique de sol dans une gaine élastique étanche et déformable pierre poreuse communication avec burette graduée et capteur de pression interstitielle robinet R : assurer ou non le drainage de l'échantillon moodle.insa-toulouse.fr

4.3 Conditions d'essais - principales caractéristiques

Un essai triaxial se divise en deux étapes Reproduction des situations critiques rencontrées dans les analyses de stabilité des ouvrages deux lettres consolidation ou non avant le cisaillement conditions de drainage pendant le cisaillement moodle.insa-toulouse.fr

Essai UU

Contrainte totale Pression = interstitielle Contrainte effective - Δu σ o- Δu Δσ rupture- u σ - u o • réalisation d'un deuxième essai avec une pression de confinement supérieure τ σ oA σ oB o u Δσ o σ - de la même façon que précédemment la pression de confinement σ est oB entièrement reprise par l'eau accroissement de la pression interstitielle u o

Δσ

o en contraintes effectives Δu en contraintes totales σ Tous les essais UU avec différentes contraintes σ o un seul cercle en contraintes effectives Enveloppe des cercles de Mohr en contraintes totales τ deux droites parallèles à l'axe oσ moodle.insa-toulouse.fr

5.1 Notion de court terme et de long terme

Court terme Long terme phase initiale, de chantier sollicitations sans drainage phase finale sollicitations avec drainage Sols fins c u Sols fins et sols grenus Exemple d'application : page suivante c' et φ' moodle.insa-toulouse.fr

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Comment déterminer les contraintes principales ?
Pour construire le cercle de Mohr on commence par tracer les axes ?_n et ?_t. Puis on ajoute les points X(?_xx, ?_xy) et Y'(?_yy, -?_yx). L'intersection entre le segment [XY'] et l'abscisse correspond au centre du cercle O.
Comment tracer le cercle de Mohr des contraintes ?
Le cercle de Mohr admet pour diamètre les points de coordonnées (0,0) et (?_x,0). Il est donc tangent à l'axe ?_n. Il se trouve du côté des ?_n positif dans le cas de la traction, et du côté des ?_n négatifs en compression. Son centre est au point d'abscisse C_z = ?_x/2.
Comment utiliser le cercle de Mohr ?
On peut tracer le cercle si on connaît un point quelconque du cercle, c'est à dire la contrainte normale et la contrainte tangentielle pour une normale particulière. Les angles partant du centre du cercle de Mohr sont égaux aux angles réels multipliés par -2.

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Comment calculer la contrainte principale ?

On peut tracer le cercle si on connaît un point quelconque du cercle, c'est à dire la contrainte normale et la contrainte tangentielle pour une normale particulière.
. Les angles partant du centre du cercle de Mohr sont égaux aux angles réels multipliés par -2.

Pourquoi on trace le cercle de Mohr ?

Dans le cadre de l'élasticité linéaire, le champ de contrainte est relié au champ de déformation par la loi de Hooke généralisée, c'est-à-dire que l'on peut écrire l'équation tensorielle ? = ?E où ? désigne le tenseur des contraintes, ? le tenseur des déformations et E le tenseur des constantes élastiques.

Comment calculer le tenseur des contraintes ?

Il en résulte également que la symétrie du tenseur des contraintes implique que les contraintes tangentielles exercées sur deux faces perpendiculaires sont égales.
. C'est pour cela qu'on parle souvent, pour indiquer la symétrie du tenseur des contraintes, de «réciprocité des cisaillements».

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