ds recurrence

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Discrete Structures Tutorial 7

a) Find the recurrence relation for the number of ways to deposit n dollars where the order in which the coins and bills are deposited matters b) Find initial conditions c) How many ways are there to deposit $10? Solution: a) an= 2an-1 + an-5 for n>=5 b) a0 =1 a1=2 a2=2 a3=8 a4=16 c) 1217 4

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Recurrence Relations

Recurrence Relations are Mathematical Equations: A recurrence relation is an equation which is deﬁned in terms of itself Natural Computable Functions as Recurrences: Many natural functions are expressed using recurrence relations (linear) f(n) = f(n−1) + 1f(1) = 1 ⇒ f(n) = n (polynomial) f(n) = f(n−1) + nf(1) = 1 ⇒ f(n) = 1 2 (n2 + n)

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Recurrence Relations

Recurrence Relations 1 In ̄nite Sequences An in ̄nite sequence is a function from the set of positive integers to the set of real numbers or to the set of complex numbers Example 1 1 The game of Hanoi Tower is to play with a set of disks of graduated size with holes in their centers and a playing board having three spokes for holding the disks

How do you solve a recurrence relation?
Solve the recurrence relations an + 2 = 4an +1 − 3an + 3n subject to the initial conditions a1 = 1 and a2 = 3 . Solution: We first solve the homogeneous part an + 2 = 4an +1 − 3an . the general solution is an = A ⋅ 3 n + B for some constants A and B. Now we want to find a particular solution to the original (non-homogenous) recurrence relation.
Which recurrence relation can be defined with different initial conditions?
in Section 8.2, Example 8.2.1, can be defined with the same recurrence relation, but with different initial conditions. is a third-order recurrence relation. If values of T(0), is completely defined. has infinite order. To determine S(n) terms. Since n / 2
What is 2nd order recurrence relation?
Subtract the 4th equation from the 3rd. 2k + 1 term is eliminated. This is 2nd order relation. The recurrence relation that we have just obtained, defined for k ≥ 2, together with the initial conditions C(0) = 7 / 3 and C(1) = 6, define C. Table 8.3.2 summarizes our results together with a few other examples that we will let the reader derive.
What is the required solution to the homogeneous recurrence relation?
Next, we use the fact the required solution to the recurrence relation is the sum of this particular solution and a so-lution to the associated homogeneous recurrence relation. We already know a general form for the solution to the homogeneous recurrence relation (from the previous theorems).

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