systeme lineaire et matrice

PDF	1 Introduction aux systèmes d’équations linéaires Nous allons utiliser trois opérations élémentaires sur les équations (c’est-à-dire sur les lignes) qui sont :

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Chapitre 1 Systèmes linéaires et matrices

Systèmes linéaires et matrices Notions : — système linéaire solution d’un système — opérations élémentaires méthode du pivot de Gauss — matrices matrices particulières — opérations entre matrices transposition propriétés — calculs de puissances formule du binôme — matrices carrées inversibles inverse d’une

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Mathématiques Numériques Chapitre 2 : Systèmes linéaires et

Réponse : non on découvre l’inversibilité par la méthode de Gauss (le déterminant de A s’obtient comme un sous-produit de cette méthode dans la plupart des cas c’est la méthode la plus rapide pour le calculer !) 4 On a souvent plusieurs systèmes linéaires à résoudre avec la même matrice : Ax(k) = b(k) k = 1

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MATRICES ET SYSTÈMES LINÉAIRES

appelée la jème colonne de A et la matrice (a i1 ··· aip)est appelée sa i ème ligne •Formes particulières : L’ensemble des matrices de taille n×p à coefﬁcients dans Kest noté Mnp(K) — Pour n =p on parle de matrices carrées de taille n et la notation simpliﬁée Mn(K)est alors préférée La

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Matrices systèmes linéaires et graphes

Dans un premier temps nous allons donner une définition de ceci puis voir de quelle manière calculer l’inverse d’une matrice carrée de taille 2 Définition 5 2 7 Soient A B Mn(R) On dira que la matrice B est l’inverse de la matrice A ∈ si la relation suivante est satisfaite : AB = BA = Id

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TD 7 : Matrices et systèmes d’équations linéaires

TD 7 : Matrices et systèmes d’équations linéaires 1 Opérations sur les matrices Exercice 1 Écrire la matrice M pm i;jqdans chacun descas: 1 m i;j i jpour1 ⁄i⁄3 et1 ⁄j⁄2puispour i;jPv1;nw 2 m i;j ij pouri;jPv1;3w 3 m k;l sin ˇ 2 pk lq pour1 ⁄k⁄2 et1 ⁄l⁄3 Exercice 2 On considère les trois matrices A B etC

Quels sont les systèmes linéaires ?
Les systèmes linéaires interviennent à travers leurs applications dans de nombreux contextes, car ils forment la base calculatoire de l’algèbre linéaire. Ils permettent également de traiter une bonne partie de la théorie de l’algèbre linéaire en dimension finie.
Quelle est la matrice associée au système (s) ?
La matrice A = (aij)1⩽i⩽n ∈ Mn,p(K) est la matrice associée au système (S). Remarque. Si l’on pose Exemple. On considère le système linéaire 2x1 4x1 . Sa matrice associée est le système revient à chercher les réels x1, x2 tels que 2 3 4 3 x1 x2 = 5 0 .
Comment calculer la combinaison linéaire d'une matrice ?
Toute matrice de Mn,p(K) est combinaison linéaire de matrices Ei,j. X X Démonstration. Soit A = (aij)1⩽i⩽n ∈ Mn,p(K). On a alors : A = aijEi,j. Exemple. Soit A ∈ Mn,p(K) et B ∈ Mp,q(K) deux matrices.
Comment calculer l’équivalence d’une matrice ?
Soit A = ∈ M2(R). Nous avons l’équivalence suivante : ⇐⇒ ad − bc = 0. ̸ Remarque. La quantité ad − bc est appelée déterminant de la matrice A (noté det(A)). Exercice à traiter : 27 page 190. Ce résultat d’inversion mène facilement à la proposition suivante. Proposition 30. Considérons un système d’équations donné sous la forme (matricielle)

3.2. Opérations sur les équations d’un système

Nous allons utiliser trois opérations élémentaires sur les équations (c’est-à-dire sur les lignes) qui sont : exo7.emath.fr

Systèmes linéaires

Vidéo Vidéo Vidéo partie partie partie Introduction Théorie Résolution aux des par systèmes systèmes la d'équations linéaires méthode du linéaires pivot de Gaus Fiche d'exercices Systèmes d'équations linéaires L’algèbre linéaire est un outil essentiel pour toutes les branches des mathématiques, en particulier lorsqu’il s’agit de modéliser puis réso

Définition 4.

On dit que deux systèmes linéaires sont équivalents s’ils ont le même ensemble de solutions. À partir de là, le jeu pour résoudre un système linéaire donné consistera à le transformer en un système équivalent dont la résolution sera plus simple que celle du système de départ. Nous verrons plus loin comment procéder de façon systématique pour arrive

2.2. Différents types de systèmes

Voici un résultat théorique important pour les systèmes linéaires. exo7.emath.fr

Théorème 1.

Un système d’équations linéaires n’a soit aucune solution, soit une seule solution, soit une infinité de solutions. En particulier, si vous trouvez 2 solutions différentes à un système linéaire, alors c’est que vous pouvez en trouver une infinité Un système linéaire qui n’a aucune solution est dit incompatible. La preuve de ce théorème sera vue d

Définition 5.

Un système est échelonné si : le nombre de coefficients nuls commençant une ligne croît strictement ligne après ligne. Il est échelonné réduit si en plus : le premier coefficient non nul d’une ligne vaut 1 ; et c’est le seul élément non nul de sa colonne. exo7.emath.fr

3.4. Systèmes homogènes

Le fait que l’on puisse toujours se ramener à un système échelonné réduit implique le résultat suivant : exo7.emath.fr

Théorème 2.

Tout système homogène d’équations linéaires dont le nombre d’inconnues est strictement plus grand que le nombre d’équations a une infinité de solutions. exo7.emath.fr

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On appelle matrice du système, le tableau à p lignes et n colonnes, formé par les coefficients successifs des premiers membres de chacune des p équations du système. On note M(p, n, K) l'ensemble des matrices à p lignes et n colonnes de coefficients dans IK .

Comment fonctionne une matrice ?

Si A est une matrice carrée inversible d'ordre n, alors le système d'équation dont l'écriture matricielle est AX = B admet une unique solution : X = A^-¹B.
. Exemple : Le système a pour écriture matricielle AX = B avec .
. Le déterminant de A est non nul, A est donc inversible.

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