démonstration par l'absurde racine de 2 irrationnel PDF Cours,Exercices ,Examens

Comment démontrer par l'absurde que √ 2 est irrationnel ?
Démonstration de « √2 est irrationnel »
Supposons par l'absurde que √2 soit rationnel : alors 2 = a b où a, b sont des nombres entiers positifs.
Il est possible de simplifier la fraction jusqu'à ce que a, b soient premiers entre eux (c'est-à-dire la fraction ne puisse plus être simplifiée).
Comment faire la démonstration par l'absurde ?
On s'intéresse à deux propositions A et B et on veut démontrer que A implique B (autrement dit, si A est vraie, alors B l'est aussi).
Le raisonnement par l'absurde consiste à supposer que A est vraie et que B est fausse.
On aboutit alors à une contradiction, ce qui entraîne que B doit être nécessairement vraie.
Comment démontrer que √ 5 est irrationnel ?
Preuve de l'irrationalité Supposons que √5 est rationnel et écrivons-le sous la forme d'une fraction irréductible m/n (c'est-à-dire que m et n sont premiers entre eux : PGCD(m, n) = 1).
L'hypothèse √5 = m/n conduit à 5n² = m².
Ainsi, 5 divise m², donc divise m d'après le lemme d'Euclide.
Proposition P : √ 2 est rationnel.
Soit P est vraie soit P est vraie.
Si P est vraie, il existe deux entiers naturels non nuls p et q tels que √ 2 = p q et p et q le plus petit possible. d'harmonie (2q p = 2q √ 2q = √ 2 ) .

La démonstration Supposons par l'absurde que √2 est un nombre rationnel, c'est-à-dire qu'il peut s'écrire sous la forme ab où a et b sont des nombres entiers relatifs. On a alors √2=ab. Écrivons √2 sous la forme d'une fraction irréductible (on peut imaginer que l'on simplifie ab si nécessaire).

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Supposons par l'absurde que ?2 est un nombre rationnel, c'est-à-dire qu'il peut s'écrire sous la forme ab où a et b sont des nombres entiers relatifs. On a alors ?2=ab. Écrivons ?2 sous la forme d'une fraction irréductible (on peut imaginer que l'on simplifie ab si nécessaire).

Comment prouver l'irrationalité de racine de 2 ?

Il n'existe pas de rationnel positif dont le carré est 2, la racine carrée de 2 est irrationnelle.
. Supposons qu'il existe un élément x = p/q de ⁺ ( ensemble des rationnels positifs ) tel que x² = 2, avec p et q premiers entre eux ( c'est à dire que p/q est une fraction irréductible ) .

Comment faire une démonstration par l'absurde ?

On s'intéresse à deux propositions A et B et on veut démontrer que A implique B (autrement dit, si A est vraie, alors B l'est aussi).
. Le raisonnement par l'absurde consiste à supposer que A est vraie et que B est fausse.
. On aboutit alors à une contradiction, ce qui entraîne que B doit être nécessairement vraie.

Est-ce que 2 est un nombre irrationnel ?

Les nombres irrationnels sont des nombres réels qui ne peuvent pas être exprimés sous la forme d'une simple fraction et dont le développement décimal ne peut pas se terminer ou se répéter.
. Examinons les nombres énoncés ci-dessous: 2 est un nombre entier, ce n'est donc pas un nombre irrationnel.

Est-ce que la racine de 2 est rationnel ?

La réponse est non : Théorème. — La racine carrée de 2 n'est pas un nombre rationnel.

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