démonstration par récurrence d'une inégalité PDF Cours,Exercices ,Examens

PDF	LES SUITES (Partie 1) Remarque : Une démonstration par récurrence sur les entiers est mise en œuvre Méthode : Démontrer par récurrence l'expression générale d'une suite Vidéo

Comment démontrer par récurrence ?
Comment faire un raisonnement par récurrence ? Pour faire un raisonnement par récurrence, il faut d'abord vérifier que la proposition à démontrer est vraie pour le cas initial.
Ensuite, il faut démontrer que si la proposition est vraie pour un certain rang, alors elle est vraie pour le rang suivant.
Quel est le principe du raisonnement par récurrence ?
Le raisonnement par récurrence est une forme de raisonement mathématique dont l'objet est de démontrer une propriété de tous les entiers naturels, ou plus généralement d'une infinité d'entiers naturels.
Quelle est la formule de récurrence ?
Pour calculer la raison d'une suite arithmétique, nous pouvons utiliser la définition par récurrence d'une suite arithmétique, u n + 1 = u n + r .
Nous pouvons également exploiter le terme général d'une suite arithmétique, u n = u 0 + n r .
Le raisonnement par récurrence sert à démontrer qu'une proposition est vraie pour tout entier naturel n.
C'est l'une des méthodes de démonstration utilisées en mathématiques.
L'ensemble des entiers naturels est noté N, il contient l'ensemble des entiers qui sont positifs.

La démonstration par récurrence consiste :

D'abord, à vérifier que la propriété est vraie au rang 0 (i.e. on vérifie que H(0) est vraie).
Ensuite, à vérifier que si la propriété est vraie à un rang n, alors elle sera aussi vraie au rang n+1 (i.e. on vérifie que si H(n) est vraie, alors H(n+1) est aussi vraie).

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Comment démontrer une Inegalité par récurrence ?

Considérons une propriété P(n) dépendant d'un entier n ? 0.
. Le principe de récurrence faible stipule que si: [initialisation] P(0) est vraie; [hérédité] pour tout entier k > 0, si P(k) est vraie alors P(k+1) est vraie.

Quand utiliser la démonstration par récurrence ?

La démonstration par récurrence sert lorsqu'on veut démontrer qu'une propriété, dépendant de n, est vraie pour toutes les valeurs de n.
. On appelle dans ce cas ?n la propriété en question.
. On est ainsi amené à montrer que la propriété ?n est vraie pour toutes les valeurs de n.

Comment justifier une suite par récurrence ?

Principe du raisonnement par récurrence : Si la propriété P est : - vraie au rang n0 (Initialisation), - héréditaire à partir du rang n0 (Hérédité), alors la propriété P est vraie pour tout entier n n0.
. Dans l'exemple, le premier domino tombe (initialisation).
. Ici n0 = 1.
. L'hérédité est vérifiée (voir plus haut).

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