démonstration toute suite convergente est bornée PDF Cours,Exercices ,Examens

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Comment démontrer que la suite est convergente ?
Une suite est convergente si elle tend vers un nombre fini ; une suite est divergente si elle tend vers l'infini ou si elle n'a pas de limite.
Comment montrer que deux suites convergent ?
Si (un)n∈N ( u n ) n ∈ N est une suite croissante et majorée, alors elle est convergente.
Est-ce que tout suite bornée est convergente ?
une suite bornée n'est pas nécessairement convergente (contre-exemple : u_n = (–1)ⁿ est bornée — majorée par 1 et minorée par –1 — mais n'admet pas de limite) ; pour qu'une suite tende vers ±∞, il ne suffit pas qu'elle soit non bornée (contre-exemple : la suite qui vaut 0 pour n pair, et n pour n impair).
On conçoit facilement qu'une suite convergente est de Cauchy, c'est une conséquence de l'inégalité triangulaire : si u p − l et u n − l sont petits il en est de même pour u p − u n .

Démonstration. Soit une suite (un) qui converge vers une limite l. D'après la définition de la convergence : ∀ε>0,∃N∈N|n≥N⇒|un−l|≤ε.Autres questions

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Comment montrer que toute suite convergente est bornée ?

Si (un)n converge, alors elle est bornée.
. Preuve.
. En effet, si l est la limite de la suite (un)n, prenons ? = 1 > 0, il existe N1 ? N tel que, pour tout n ? N1, on ait un ? l ? 1.

Pourquoi toute suite convergente est bornée ?

Toute suite convergente est par conséquent bornée (par exemple la suite u_n = (–1)ⁿ/(n + 1), qui converge vers 0, reste comprise entre u₁ = –1/2 et u₀ = 1). Toute suite réelle qui tend vers ±? est non bornée (par exemple : u_n = 2ⁿ, qui tend vers +?).

Est-ce qu'une suite convergente est bornée ?

Si une suite converge, alors elle est bornée.

Comment savoir si une suite est bornée ?

On récite le cours : une suite est bornée si elle est à la fois majorée et minorée.
. On en conclut donc que la suite est bornée. \\left(u_n\\right) est à la fois majorée par 1 et minorée par 0.
. Elle est donc bornée.

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