Démonstrations dérivations 1ère Mathématiques

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Qu'est-ce qu'une dérivée première ?
La dérivée f′ de la fonction f est appelée dérivée première de f.
On peut l'utiliser pour trouver les minimums et maximums de f : Le réel f(a) est un minimum local (resp. maximum local) de f si et seulement si il existe un intervalle ]a−r,a+r[ inclus dans dom f tel que pour tout réel de cet intervalle, f(x)≥f(a) (resp.
Comment montrer que la fonction est derivable ?
Une fonction réelle d'une variable réelle est dérivable en un point a quand elle admet une dérivée finie en a, c'est-à-dire, intuitivement, quand elle peut être approchée de manière assez fine par une fonction affine au voisinage de a.
Comment expliquer la dérivée d'une fonction ?
Graphiquement, la dérivée d'une fonction correspond à la pente de sa droite tangente en un point spécifique.
L'illustration qui suit permet de visualiser la droite tangente (en bleu) d'une fonction quelconque en deux points distincts.
Remarquez que l'inclinaison de la droite tangente varie d'un point à l'autre.
On a ainsi : f (x) = u(x) + v(x).
Pour tout x de R , u'(x) = 1 et v'(x) = 2x.
On constate sur cet exemple que : f '(x) = u'(x) + v'(x) .

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Dérivation : Applications

La notion de dérivée a de nombreuses applications. Nous allons en voir quelques unes. La première d’entre elles, sinon la plus importante, est l’application à l’étude des variations d’une fonction et à la recherche de ses extrema.

Application à l’étude Des Variations d’une Fonction

Soit une fonction dérivable sur un intervalle • Si est croissante sur , alors est positive ou nulle sur . • Si est décroissante sur , alors est négative ou nulle sur . • Si est constante sur , alors est nulle sur . Soit une fonction dérivable sur un intervalle . ►Si, pour tout , , alors est croissante sur . ►Si, pour , , alors est décroissante sur ...

Extrema Locaux

Soit f une fonction définie sur l’intervalle et soit On dit que f admet un maximum local en a s’il existe un intervalle ouvert tel que et tel que ,pour tout on ait On dit que f admet un minimum local en a s’il existe un intervalle ouvert tel que et tel que ,pour tout on ait Un extremum local est soit un maximum local ,ou soit un minimum local.

Fonctions dérivables et Extrema

Soit f une fonction dérivable sur un intervalle . Si la fonction admet un extremum ou un extremum local en un point a et si a n’est pas une borne de , alors

Comment démontrer une dérivée ?

Une fonction f est dérivable sur un intervalle I si elle est dérivable en tout point de I. On appelle alors fonction dérivée de f la fonction f : x ↦→ f′(x).
. Proposition 1.
. Soit f une fonction dérivable en a, alors l'équation de la tangente à la courbe représentative de f en a est y = f′(a)(x − a) + f(a).

Comment expliquer les dérivées ?

Graphiquement, la dérivée d'une fonction correspond à la pente de sa droite tangente en un point spécifique.
. L'illustration qui suit permet de visualiser la droite tangente (en bleu) d'une fonction quelconque en deux points distincts.
. Remarquez que l'inclinaison de la droite tangente varie d'un point à l'autre.

Comment retenir les dérivées ?

Pour la retenir, la meilleur façon à mon avis est de la comparer à la dérivée d'une fonction quelconque u(x).
. Ici x est la variable et on note toujours (u(x))' = u'(x).
. Rien de nouveau.
. Maintenant, quand on compose 2 fonctions, on a u(v) où cette fois v est une fonction qui en fait s'écrit v(x).

Comment déterminer la dérivée d'une fonction ?

Pour déterminer la fonction dérivée d'une fonction sur un intervalle donné, on peut revenir à la définition du nombre dérivé en un point a. On calcule alors la limite du taux d'accroissement de cette fonction entre x et a, lorsque x tend vers a.
. Ce calcul « à la main » est souvent très long et laborieux.

Quels sont les différents types de dérivation ?

Les définitions du nombre dérivé d'une fonction en un point et de la fonction dérivée. Les formules de dérivation. La dérivée seconde. La dérivée logarithmique. La dérivation des fonctions vectorielles et celle des fonctions paramétriques.

Comment calculer les variations d’une fonction dérivable ?

►Si, pour tout , , alors est croissante sur . Le sens de variation d’une fonction dérivable est donné par le signe de sa dérivée. Pour étudier les variations d’une fonction dérivable, on calcule donc sa dérivée, puis on détermine le signe de la dérivée et on dresse le tableau de signe de la dérivée et le tableau de variations de la fonction.

Comment calculer la dérivée de E X ?

La dérivée de e x est e x. Le tableau ci-contre donne les dérivées d'une somme, d'un produit et d'un quotient de fonctions u et v dérivables sur un même intervalle I (Pour la dérivée du quotient, v est supposée ne pas s'annuler sur I). Si k une constante, alors la dérivée de k u est k u ′. .

Qu'est-ce que le signe de la fonction dérivée?

Étudier le signe de la fonction dérivée d'un produit de sommes de fonctions affine, carré, cube, inverse, racine carrée, puissance et de fonctions affines composées par une fonction carré, cube, inverse, racine carrée ou puissance

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