démontrer que racine de 2 + racine de 3 est irrationnel PDF Cours,Exercices ,Examens

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Comment démontrer par l'absurde que √ 2 est irrationnel ?
La démonstration
Supposons par l'absurde que √2 est un nombre rationnel, c'est-à-dire qu'il peut s'écrire sous la forme ab où a et b sont des nombres entiers relatifs.
On a alors √2=ab. Écrivons √2 sous la forme d'une fraction irréductible (on peut imaginer que l'on simplifie ab si nécessaire).
Comment montrer qu'une racine est irrationnel ?
Supposons que sqrt(6) est rationnel. il existe donc une paire p,q entiers relatifs tq sqrt(6) = p/q, avec p et q premiers entre eux.
De ce dernier résultat on peut remarquer que p est pair, ce qui implique que q l'est aussi, ceci étant absurde parce que p et q sont premiers entre eux.
Sqrt(6) est alors irrationnel.
Est-ce que racine de 3 est irrationnel ?
√3 est irrationnel, et solution d'une équation de degré 2 à coefficients entiers, donc rationnels ; √3 est donc irrationnel quadratique.
Son développement en fraction continue est donc périodique.
Il existe deux entiers a et b tels que (ln2/ln3)=a/b. 2^b=3^a, ce qui est impossible.
Donc (ln2/ln3) est irrationnel.

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Comment montrer que racine de 2 racine de 3 est irrationnel ?

Comme 3 est premier, 3 diviserait p d'o`u l'existence de p ? N tel que p = 3p . En reportant dans l'égalité (?), on aurait 3p 2 = q2 donc 3 diviserait q, ce qui contredit (p, q) premiers ente eux.
. La contradiction assure que ? 3 est irrationnel.

Comment démontrer que racine de 2 est un nombre irrationnel ?

La racine carrée de deux, notée ?2 (ou parfois 2¹^/²), est définie comme le seul nombre réel positif qui, lorsqu'il est multiplié par lui-même, donne le nombre 2, autrement dit ?2 × ?2 = 2.
. C'est un nombre irrationnel, dont une valeur approchée à 10^–⁹ près est : ?2 ? 1,414 213 562.

Comment montrer par l'absurde que ? 2 est irrationnel ?

Ils sont donc tous les deux divisibles par 2 et ne sont donc pas premiers entre eux (car ils ont un diviseur commun différent de 1 et ?1).
. Ceci est une contradiction (étape n°2).
. Ainsi, ?2 ne peut pas être un nombre rationnel ; c'est donc un nombre irrationnel.

Comment démontrer que racine de 5 est un nombre irrationnel ?

Preuve de l'irrationalité Supposons que ?5 est rationnel et écrivons-le sous la forme d'une fraction irréductible m/n (c'est-à-dire que m et n sont premiers entre eux : PGCD(m, n) = 1).
. L'hypothèse ?5 = m/n conduit à 5n² = m².
. Ainsi, 5 divise m², donc divise m d'après le lemme d'Euclide.

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