démontrer une égalité par récurrence PDF Cours,Exercices ,Examens

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Comment démontrer des égalité ?
Si, pour n'importe quel nombre choisi, deux expressions littérales donnent le même résultat, alors on dit que ces expressions littérales sont égales.
Exemples : Pour n'importe quel nombre choisi pour x on a x+7=2x+10−x−3 donc les expressions x+7 et 2x+10−x−3 sont égales. +21 et B=7(x2 +2)+7 sont égales.
Comment démontrer une égalité en maths ?
Exemple :
12 + x = 5.
Lorsque x = 3, l'égalité est vraie.
On a : 2 + 3 = 5.23 est la solution de l'équation 2 + x = 5.
Comment démontrer par récurrence ?
La démonstration par récurrence consiste :
1D'abord, à vérifier que la propriété est vraie au rang 0 (i.e. on vérifie que H(0) est vraie).
2) Ensuite, à vérifier que si la propriété est vraie à un rang n, alors elle sera aussi vraie au rang n+1 (i.e. on vérifie que si H(n) est vraie, alors H(n+1) est aussi vraie).
L'égalité est définie par extensionnalité, deux ensembles sont égaux quand ils ont les mêmes éléments, c'est-à-dire que : A = B si et seulement si ∀ x ∈ U (x ∈ A ⇔ x ∈ B).
A = B si et seulement si A ⊂ B et B ⊂ A.

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Comment montrer une égalité par récurrence ?

Hérédité Une fois l'initialisation réalisée, on va démontrer que, pour k>1, si P(k) est vraie, alors P(k+1) est aussi vraie.
. On suppose donc que, pour un entier k > 1, P(k) est vraie: c'est l'hypothèse de récurrence.
. On suppose donc que l'égalité suivante est vraie:12+22+32+?+(k?1)2+k2=k(k+1)(2k+1)6.

Quand utiliser la démonstration par récurrence ?

La démonstration par récurrence sert lorsqu'on veut démontrer qu'une propriété, dépendant de n, est vraie pour toutes les valeurs de n.
. On appelle dans ce cas ?n la propriété en question.
. On est ainsi amené à montrer que la propriété ?n est vraie pour toutes les valeurs de n.

Comment montrer qu'une suite est croissante par récurrence ?

Dans le raisonnement par récurrence forte, dans l' hérédité, on va supposer que la propriété est vraie pour tout entier naturel inférieur ou égal à n, et on va montrer qu'elle est vraie au rang n+1.
. En faisant ce principe de récurrence, on montre que la propriété est vraie pour tout entier naturel n.

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Synthèse de cours exercices corrigés - Cours, examens et exercices

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