densité de probabilité loi exponentielle PDF Cours,Exercices ,Examens

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Quelle est la formule de la fonction de densité de la loi exponentielle de paramètre ?
Soit X une v.a.r. de loi exponentielle de paramètre λ > 0. densité : fX(x) = λe−λx1[0,+∞[(x); • fonction de répartition : FX(x) = P(X ≤ x) = (1 − e−λx)1[0,+∞[(x); • espérance : E[X]=1/λ; • variance : Var(X)=1/λ2 ; simulation : si U suit la loi uniforme sur ]0,1], −ln(U) λ suit la loi exponentielle de paramètre λ.
Comment calculer la densité de probabilité ?
La fonction f est une densité de probabilité sur un intervalle I=[a;b] si et seulement si f est continue et positive ou nulle sur I, et si \\int_a^bf\\left(x\\right) dx= 1.
Montrer que la fonction f, définie sur \\left[ 0;1 \\right] par f\\left(x\\right) = 2x est une densité de probabilité.
Comment utiliser la loi exponentielle ?
Exemple : La loi exponentielle est la version continue de la loi géométrique.
Elle sert souvent à modéliser la durée de vie, d'une ampoule comme d'un atome radioactif.
L'hypothèse est qu'il n'y a pas de vieillissement car, si X suit une loi exponentielle et si s,t>0, s , t > 0 , alors P(X>s+tX>s)=P(X>t).
On dit qu'une variable aléatoire suit une loi exponentielle de paramètre λ sur , lorsque sa densité de probabilité associée est la fonction f définie sur par . f(0) = λ. f est continue et positive sur .

La loi exponentielle de paramètre λ est la loi ayant pour densité de probabilité la fonction f définie sur 0;+∞⎡⎣⎡⎣ par : f (x) = λe−λx . Contextes d'utilisation : Durée de vie de composants électroniques, tremblement de terre, désintégration d'un noyau radioactif, …

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Comment calculer la densité d'une loi ?

Si X est une variable aléatoire à densité ayant pour densité f , on a P(X?[a,b])=?baf(t)dt, P(X?a)=?+?af(t)dt, P(X?a)=?a??f(t)dt.

Comment trouver la fonction de densité ?

Définition.
. Une variable aléatoire X suit la loi exponentielle de paramètre ? où ? > 0 \\lambda > 0 ?>0 si elle admet pour densité la fonction f définie sur [0;+?[ par f ( x ) = ? e ? ? x f(x) = \\lambda e^{-\\lambda x} f(x)=?e??x.

Comment savoir si une variable suit une loi exponentielle ?

On dit qu'une variable aléatoire X suit la loi exponentielle de paramètre ?>0, ce que l'on note X?E(?) X ? E ( ? ) si elle admet pour densité f(x)={?e??xsi x?00sinon. f ( x ) = { ? e ? ? x si x ? 0 0 sinon.

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Nous allons voir que si une variable aléatoire suit une certaine loi, alors ses variable aléatoire réelle X admet pour densité de probabilité la fonction p(x) définie, loi à une loi connue L0 (Poisson, Exponentielle, normale, etc) retenue Exemple numérique : Lors d'un examen noté sur 20, on obtient les résultats suivants :

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