points d'equilibre equation differentielle

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Comment trouver les points d'équilibre ?
Équilibre stable. Équilibre qui tend à se rétablir spontanément lorsqu'il est légèrement troublé.
C'est quoi un équilibre stable ?
1.
1) Définition.
Un équilibre ou état stationnaire d'une équation différentielle (1) est un nombre c telle que la fonction constante y(t) ≡ c est une solution de (1).
Autrement dit si la condition initiale y0 est un équilibre, alors y(t) ≡ y0 est une solution constante de l'équation différentielle.
C'est quoi une solution stationnaire ?
La fonction g est solution de l'équation différentielle y' = ay + b.
Les solutions de l'équation différentielle y' = ay + b, où a et b sont deux réels et , sont les fonctions de la forme où u(x) est la solution particulière constante de l'équation y' = ay + b et v(x) est une solution quelconque de l'équation y' = ay.

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Comment trouver les points d'équilibre ?
On dit que a appartenant `a Rd est un point d'équilibre si f(a) = 0, ainsi x?a est l'unique solution de (1) de condition initiale x(t0) = a. Notation : ?(t, x0) est la solution de (1) telle que ?(t0,x0) = x0.
Quand Dit-on qu'un équilibre est stable ?
Un équilibre est dit stable si, à la suite d'une perturbation qui a éloigné le système de cette position, celui-ci y retourne spontanément.
Qu'est-ce qu'une solution stationnaire ?
1.1 Définition. Un équilibre ou état stationnaire d'une équation différentielle (1) est un nombre c telle que la fonction constante y(t) ? c est une solution de (1). Autrement dit si la condition initiale y0 est un équilibre, alors y(t) ? y0 est une solution constante de l'équation différentielle.
La technique utilisée est celle de la linéarisation qui consiste à faire un développement limité en série de Taylor d'un système non linéaire et de considérer que les termes de plus haut degré du système de référence n'ont localement pas d'influence sur la stabilité du système considéré.

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Nous pouvons donc nous ramener à l'étude des équations différentielles linéaires homogènes. L'origine 0 est alors toujours un point d'équilibre. = Ax. (i) L'origine 0 est un point d'équilibre globalement asymptotiquement stable ssi toutes les valeurs propres de A sont de partie réelle strictement négative.

Quelle est la méthode générale pour résoudre une équation différentielle ?

1/ Méthode d'Euler En (x0,y0), on connaît la pente de la tangente à partir de l'équation différentielle, f(x0,y0) On assimile alors sur l'intervalle [x0,x0+h] la fonction à sa tangente.
. On détermine alors le point (x1,y1) avec x1=x0+h et y1= y0+h f(x0,y0) On recommence le même raisonnement avec le point (x1,y1) .

Quand Dit-on qu'un equilibre est stable ?

Pour savoir si une fonction donnée f est solution ou non d'une équation différentielle ( E ) , il suffit donc de remplacer y par f ( t ) et y ? par f ? ( t ) dans le premier membre de l'équation différentielle et de voir, après simplification, si on retrouve le second membre.

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