point d'équilibre d'un système non linéaire

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Comment trouver les points d'équilibre d'un système ?
Si le point X0 ∈ Ω vérifie f(X0)=0, alors la fonction constante X : t → X0 est solution de (S) sur R.
On dit que X0 est un point d'équilibre du système différentiel (S).
Comment savoir si un système est non linéaire ?
Par définition, un système non linéaire est un système qui n'est pas li- néaire, c'est-à-dire (au sens physique) qui ne peut pas être décrit par des équations différentielles linéaires à coefficients constants.
C'est quoi un système non linéaire ?
La non-linéarité est la particularité, en mathématiques, de systèmes dont le comportement n'est pas linéaire, c'est-à-dire soit ne satisfaisant pas le principe de superposition, soit dont la sortie n'est pas proportionnelle à l'entrée.
La technique utilisée est celle de la linéarisation qui consiste à faire un développement limité en série de Taylor d'un système non linéaire et de considérer que les termes de plus haut degré du système de référence n'ont localement pas d'influence sur la stabilité du système considéré._{24 avr. 2018}

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Comment résoudre un système non linéaire ?
Un procédé général pour trouver les racines d'une équation non linéaire f(x)=0 consiste en la transformer en un problème équivalent x ? ?(x)=0, où la fonction auxiliaire ? : [a, b] ? R doit avoir la propriété suivante : ?(?) = ? si et seulement si f(?)=0. Le point ? est dit alors point fixe de la fonction ?.
Comment linéariser un système non linéaire ?
La technique utilisée est celle de la linéarisation qui consiste à faire un développement limité en série de Taylor d'un système non linéaire et de considérer que les termes de plus haut degré du système de référence n'ont localement pas d'influence sur la stabilité du système considéré.
C'est quoi une équation non linéaire ?
Équation non linéaire,
équation de la forme f (x) = 0 lorsque f (x) n'est pas de la forme ax + b. (Cette notion s'étend aux équations et systèmes d'équations non linéaires à plusieurs inconnues.)
Principe de linéarisation : Lorsque les valeurs propres de la matrice jacobienne d'un système différentiel en un point stationnaire A ne sont ni nulles, ni imaginaires pures, les trajectoires de ce système au voisinage de A se comportent comme les trajectoires de son linéarisé au voisinage de l'origine.

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Dans le cas non linéaire, le point d'équilibre 0 est stable localement puisque à partir de toutes conditions initiales proche de 0 (appartenant à une boucle fermée dans l'espace topologique autour de 0) la solution converge vers 0, mais le système est instable autour de 1 puisque la trajectoire tend vers 0 sauf pour x0 ...

Comment on détermine la fonction de Lyapunov ?

La méthode de la sécante consiste `a construire une suite (xn) qui converge vers ? de la mani`ere suivante : soit ?0 la droite passant par (a, f(a)) et (b, f(b)), elle coupe l'axe Ox en un point d'abscisse x0 ?]a, b[.
. On approche donc la fonction f par un polynôme P de degré 1 et on résout P(x)=0.

C'est quoi une équation différentielle non linéaire ?

— Une fonction de Lyapunov est une fonction continue W : Rn ? R+ telle que W(x) ? 1 et limW(x)xto? = +?.
. En partic- ulier les ensembles de niveau {x : W(x) ? a} sont compacts.
. Alors il y a existence globale des solutions, pour tout point de départ, et Ex [W(Xt)] ? ectW(x).

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Ainsi, au voisinage d'un point y0 ∈ Rd tel que f(y0) = 0, les solutions du syst`eme ˙y = f(y) se On dit que y0 est un équilibre si la fonction constante t ↦→ y0 est solution pour tout t Exemple 2 6 Soit le syst`eme linéaire ˙y = Ay L'origine 0