inégalité de markov

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Inégalité de Markov - Université Paris-Saclay

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I –Inégalités classiques en théorie des probabilités

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Inégalités de concentration SpéMaths

2 1 Inégalité de Markov SiXest une variable aléatoire à valeurs positives et soitaun réel strictement positif alors : P ¡ X>a 6 E(X) a Interprétation : La probabilité que X prenne des valeurs plus grandes que a est d’autant plus petite que a est grand Propriété 1Inégalité de Markov Soit › l’univers ?ni sur lequel est dé?ni la variable aléatoireX

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T spé Inégalités de Markov P et de Bienaymé-Tchebychev

I Inégalité de Markov 1°) Théorème Soit X une variable aléatoire réelle à valeurs positives ou nulles X Alors pour tout réela 0 on a P X a 2°) Exemples Une usine produit en moyenne 35 pièces par semaine On note X la variable aléatoire donnant le nombre depièces produites par semaine

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L’inégalité de Markov est intéressante seulement pour r > E (X) Exemple Taille d’un fruit On considère un échantillon de 100 bananes X est la variable aléatoire donnant la taille d’une banane mesurée par un entier en cm L’espérance mathématique de X est ? = 12 On choisit au hasard une banane dans cet échantillon

Quels sont les inégalités classiques en théorie des probabilités ?

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Comment écrire l’inégalité de concentration ?

On utilise l’inégalité de concentration déduite de l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev. Cette inégalité s’écrit : P? ?Mn? m?? a??. On peut écrire0? P?? M?m?? a??. Cette notion, historiquement, apparaît dans les premiers travaux de Jacques Bernoulli (1654-1703). On lance 100 fois une pièce équilibrée de monnaie.

Comment reconnaître l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev ?

V(X) "2 Remarque 10.5 –Souvent, on reconnaît qu’il faut se servir de l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev grâce aux valeurs absolues présentes dans la probabilité. 3 –Loi faible des grands nombres

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