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Comment montrer que i est stable par F ?
Un intervalle I est dit stable par f lorsque f(I) ⊂ I.
Définition.
Un réel x est appelé un point fixe de f lorsque f(x) = x.
Comment justifier qu'une suite est bien définie ?
(un) est bien définie si ∀n, un+1 ≥ 0, c'est `a dire si un ≥ −1.
Pour tout choix de u0 ∈ [−1, +∞[, on aura alors ∀n ≥ 1,un ≥ 0 (récurrence immédiate), et donc la suite sera bien définie.
Comment prouver qu'une suite est croissante ?
▶ Si un+1 − un est positive, alors la suite (un) est croissante. ▶ Si un+1 − un est négative, alors la suite (un) est décroissante. b) Si tous les termes de la suite sont strictement positifs, alors il suffit de comparer le rapport un+1 un à 1. ▶ Si un+1 un ⩾ 1, alors la suite (un) est croissante.
On peut donc appliquer le thérème du point fixe.
Pour tout y ∈ B(f(a),δ) il existe un unique x ∈ B(a, r) tel que φy(x) = x, soit f(x) = y.
Notant g(y) ce point fixe, g est donc une bijection de B(f(a),δ) dans son image W ⊂ B(a, r) par g, et g est la réciproque de la restriction de f à W.

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(iii) un equilibre qui n’est pas uniform´ ´ement stable est dit instable Remarquons qu’en posant g(y) = f(y+a) on v´eri?e que a est un point d’ ´equilibre de (1) si et seulement si 0 est un point d’´equilibre de x’ = g(x) Ainsi nous supposerons par la suite que a est ´egal `a 0 1

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Alors la fonction g f : X? Z est mesurable de (XM) dans (ZB(Z)) Tout ouvert de R peut s’´ecrire comme union d´enombrable d’intervalles ou-verts de R En cons´equence du Lemme 3 4 on d´eduit donc qu’une fonction f : X? R est mesurable si et seulement si les sous-ensembles de niveau

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