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Comment savoir si une intégrale est généralisée ?
Définition : Quand une intégrale ne converge pas, on dit qu'elle diverge.
La nature d'une intégrale généralisée est le fait qu'elle converge ou qu'elle diverge.
Quand l'intégrale diverge ?
Si la fonction x ↦ ∫ a x f ( t ) d t n'a pas de limite quand tend vers , on dit que l'intégrale ∫ a ω f ( t ) d t est divergente.
Comment savoir si une fonction est intégrable ?
On dit que f est intégrable sur I ou que ∫If ∫ I f est absolument convergente si ∫If ∫ I f converge.
Théorème : Si f est intégrable sur I , alors ∫If(t)dt ∫ I f ( t ) d t converge.
Si ∫If(t)dt ∫ I f ( t ) d t converge sans que f ne soit intégrable sur I , alors on parle d'intégrale semi-convergente.
Toute fonction en escalier est bornée car elle ne prend qu'un nombre fini de valeurs.
Si f est réglée, il existe ϕ en escalier telle que, pour tout x ∈ [a, b], f(x) − ϕ(x) ≤ 1, et donc f(x)≤ϕ(x) + 1, ce qui prouve que f est bornée.

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Comment calculer une intégrale généralisée ?

i/ si f est positive et f ? g sur J = [a,b[ et si l'intégrale de g converge, alors il en est de même de l'intégrale de f. ii/ si f(x) ? g(x) sur l'intervalle d'intégration et si g est intégrable alors f et f le sont aussi. si l'intégrale de g diverge et si f(x) ? g(x) alors l'intégrale de f diverge aussi.

Comment déterminer la nature de l'intégrale ?

La nature d'une intégrale généralisée est le fait qu'elle converge ou qu'elle diverge.
. Remarque : Quand on a une intégrale, il nous faut maintenant déterminer, au départ, s'il s'agit d'une intégrale simple ou d'une intégrale généralisée.
. A une borne infinie, c'est toujours une intégrale généralisée.

Comment savoir si une intégrale est bien définie ?

L'intégrale ?baf(x)dx avec a,b éventuellement infini est 'définie' ou 'bien définie' si elle existe.
. La fonction t??b(t)a(t)f(x,t)dx pour t?T est 'bien définie' si l'intégrale existe pour toutes les valeurs de t dans l'intervalle T.

Comment calculer intégrale impropre ?

Exemples de calcul d'intégrales impropres par utilisation d'un changement de variable.
. Pour tout réel strictement positif, on pose dans l'intégrale I ( x ) = ? 0 x arctan ? ( t ) 1 + t 2 d t , le changement de variable ? .

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