intégrale généralisée exercice et solution

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Comment savoir si une intégrale est généralisée ?
Définition : Quand une intégrale ne converge pas, on dit qu'elle diverge.
La nature d'une intégrale généralisée est le fait qu'elle converge ou qu'elle diverge.
Quand l'intégrale diverge ?
Si la fonction x ↦ ∫ a x f ( t ) d t n'a pas de limite quand tend vers , on dit que l'intégrale ∫ a ω f ( t ) d t est divergente.
Comment savoir si une intégrale converge ?
Autrement dit, si une fonction est intégrable sur I=]a,b[ I = ] a , b [ , alors son intégrale sur I est convergente.
Toute fonction en escalier est bornée car elle ne prend qu'un nombre fini de valeurs.
Si f est réglée, il existe ϕ en escalier telle que, pour tout x ∈ [a, b], f(x) − ϕ(x) ≤ 1, et donc f(x)≤ϕ(x) + 1, ce qui prouve que f est bornée.

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Comment calculer une intégrale généralisée ?

i/ si f est positive et f ? g sur J = [a,b[ et si l'intégrale de g converge, alors il en est de même de l'intégrale de f. ii/ si f(x) ? g(x) sur l'intervalle d'intégration et si g est intégrable alors f et f le sont aussi. si l'intégrale de g diverge et si f(x) ? g(x) alors l'intégrale de f diverge aussi.

Quelle est la formule de l'intégrale ?

Dans la pratique, c'est le corollaire suivant que l'on applique pour calculer l'intégrale définie d'une fonction dont on connaît une primitive. f(x)dx= F(b) ?F(a).

Comment étudier l'intégrabilité ?

Dans le cas où l'intervalle [a,b[ est borné (c'est-à-dire b fini), on peut parfois utiliser le résultat suivant : – Si f est bornée sur [a,b[, elle y est intégrable. – Si f admet une limite finie en b? , elle est intégrable (ce cas est un cas particulier du précédent).

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