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Comment résoudre les équations diophantiennes ?
Équation ax + by = c où a et b sont premiers entre eux
Une solution particulière peut être trouvée en multipliant par c une solution particulière de l'équation ax + by = 1.
En effet, si (x₀, y₀) vérifie ax₀ + by₀ = 1 alors ax₀c + by₀c = c ; le couple (x₀c, y₀c) est alors solution de l'équation ax + by = c.
Comment trouver une solution particulière d'une équation diophantienne ?
Le théorème de Bézout donne une réciproque à cette propriété lorsque d=1 , c'est-à-dire que les entiers sont premiers entre eux.
Théorème de Bézout : Deux entiers relatifs a et b sont premiers entre eux si, et seulement si, il existe des entiers relatifs u et v tels que au+bv=1 a u + b v = 1 .

Une équation diophantienne est une équation algébrique de la forme $ax+by=c$ (E) avec $a$, $b$ et $c$ entiers ($a$ et $b$ non nuls). On cherche des couples $(x;y)$ d'entiers solutions.

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2 Remontée de l'algorithme d'Euclide
En effectuant les divisions euclidiennes successives de a_n par a_n₊₁, on construit ainsi deux suites (a_n)_n et (b_n)_n d'entiers : La suite (a_n) est celle des restes successifs des divisions euclidiennes : a_n₊₂ est le reste de la division euclidienne de a_n par a_n₊₁.

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