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Comment déterminer le point d'accumulation ?
On dit que le point a est un point d'accumulation de A s'il est adhérent à A sans être isolé dans A , autrement dit, si a est un point d'adhérence de A∖{a} A ∖ { a } .
Exemple : Pour A={−1}∪[0,1[ A = { − 1 } ∪ [ 0 , 1 [ , 1 est un point d'accumulation, mais −1 ne l'est pas.
Comment montrer qu'un point est un point d'accumulation ?
Si A est une partie d'un espace topologique, un point d'accumulation ou point limite de A est un point x dont tout voisinage contient un point de A distinct de x.
Autrement dit, un point x est un point d'accumulation de A si et seulement s'il est adhérent à A \\ {x}.
Comment montrer que l'ensemble des points d'accumulation est un fermé ?
Comment montrer que l'ensemble A' des points d'accumulation A est un fermé de \\mathbb{R}? Plus généralement, si (E,d) est un espace métrique, on note B(x,r)=\\left\\{y\\in E:d(x,y)<r\\right\\} la boule ouverte de centre x et de rayon r\\in\\R_+.
Dans un espace métrique (E,d), pour qu'un point x soit adhérent à A il faut et il suffit que d(x,A)=0.
Il en résulte aussitôt que: L'adhérence d'un ensemble A est l'intersection des voisinages V_r(A) de A.

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