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Comment montrer qu'une suite est récurrente linéaire d'ordre 2 ?
Une suite (un) est une suite récurrente linéaire d'ordre 2 s'il existe deux nombres a et b tels que, pour tout entier n , on a un+2=aun+1+bun.
Comment trouver une suite récurrente ?
Dans ce cas, on pose g=f∘f g = f ∘ f , qui est croissante sur I , puis vn=u2n v n = u 2 n et wn=u2n+1 w n = u 2 n + 1 .
Alors (vn) et (wn) vérifient la relation de récurrence vn+1=g(vn) v n + 1 = g ( v n ) et wn+1=g(wn) w n + 1 = g ( w n ) , avec g croissante sur l'intervalle I .
Comment savoir si une suite est explicite ou récurrente ?
Comment savoir si une suite est explicite ou récurrente? Une suite numérique peut se définir de deux façon :- de manière explicite : chaque terme de la suite peut être calculé à partir de son rang.
On dit que u(n) est fonction de n. - de manière récurrente : chaque terme s'obtient grâce au terme précédent.
Démonstration.
Si l ∈ I, on écrit un+1 = f(un) et on passe à la limite.
Grâce à la continuité de f, on obtient l = f(l).
Si l ∈ I et si I = ]a;b[ (par exemple), alors on a a<un < b pour tout n et par passage à la limite il vient a ⩽ l ⩽ b, donc l = a ou l = b.

Une suite (un)n∈N est une suite récurrente linéaire d'ordre 2 lorsqu'elle vérifie une relation de récurrence du type : ∀n ∈ N,un+2 = aun+1 +bun où a et b sont deux constantes réelles, avec b ̸= 0.

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Comment résoudre une suite récurrente ?
Etude pratique des suites récurrentes
1Etape 1 : Etudier la fonction f sur son ensemble de définition (monotonie, croissance,…)2Etape 2 : Résoudre l'équation aux limites possibles f(l)=l f ( l ) = l . 3Etape 3 : Déterminer un intervalle I stable par f sur lequel f est monotone, et tel que u0?I u 0 ? I .
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