suite recurrente lineaire ordre 1

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Comment résoudre une suite récurrente ?
Voici une méthode générale pour étudier une suite récurrente définie par un+1=f(un) u n + 1 = f ( u n ) , où f:D→R f : D → R est continue et u0∈I u 0 ∈ I .
Etape 1 : Etudier la fonction f sur son ensemble de définition (monotonie, croissance,\u202.
6) Etape 2 : Résoudre l'équation aux limites possibles f(l)=l f ( l ) = l .
Comment montrer qu'une suite est recurrente linéaire d'ordre 2 ?
La suite de Fibonacci définie par u0 = 0, u1 = 1 et ∀n ∈ N,un+2 = un+1 +un est une suite récurrente linéaire d'ordre 2.
La suite définie par u0 = 0, u1 = 1 et ∀n ∈ N,un+2 = un+1 n+1 −un n'est pas une suite récurrente linéaire d'ordre 2 car 1 n+1 n'est pas une constante.
Comment montrer que un 1 f un ?
Démonstration.
Si l ∈ I, on écrit un+1 = f(un) et on passe à la limite.
Grâce à la continuité de f, on obtient l = f(l).
Si l ∈ I et si I = ]a;b[ (par exemple), alors on a a<un < b pour tout n et par passage à la limite il vient a ⩽ l ⩽ b, donc l = a ou l = b.
Soit f : [a, b] → [a, b] une fonction de classe C2.
On suppose qu'il existe l > 0 tel que f (x) ≤ l < 1 pour tout x ∈ [a, b].
Soit u0 ∈ [a, b] et soit un la suite définie par récurrence par un+1 = f(un).
Alors, la suite un converge vers l'unique point fixe α de f.

Les suites récurrentes à 1 terme, ou d'ordre 1, de la forme u

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Comment résoudre une suite récurrente ?
Etude pratique des suites récurrentes
1Etape 1 : Etudier la fonction f sur son ensemble de définition (monotonie, croissance,…)2Etape 2 : Résoudre l'équation aux limites possibles f(l)=l f ( l ) = l . 3Etape 3 : Déterminer un intervalle I stable par f sur lequel f est monotone, et tel que u0?I u 0 ? I .
Comment savoir si une suite est linéaire ?
Une suite (un) est une suite récurrente linéaire d'ordre 2 s'il existe deux nombres a et b tels que, pour tout entier n , on a un+2=aun+1+bun.
Une suite (un)n?N est une suite récurrente linéaire d'ordre 2 lorsqu'elle vérifie une relation de récurrence du type : ?n ? N,un+2 = aun+1 +bun où a et b sont deux constantes réelles, avec b ?= 0.

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Méthode.
. Etablir une relation de récurrence pour une suite (un), c'est écrire une égalité faisant intervenir un terme quelconque et son ou ses suivant(s).
. Bien souvent dans les exercices de type Bac, il s'agit d'écrire une égalité faisant intervenir un+1 et un.

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